2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题10.7离散型随机变量及其分布列、数字特征【七大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题10.7离散型随机变量及其分布列、数字特征【七大题型】

【新高考专用】

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【题型1离散型随机变量的判断】 3

【题型2分布列的性质】 4

【题型3分布列的求法】 5

【题型4离散型随机变量的均值】 7

【题型5离散型随机变量的方差】 8

【题型6均值与方差中的决策问题】 10

【题型7离散型随机变量与其他知识综合】 12

1、离散型随机变量及其分布列、数字特征

考点要求

真题统计

考情分析

(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念

(2)理解并会求离散型随机变量的数字特征

2023年新高考I卷：第21题，12分

2023年全国甲卷（理数）：第19题，12分

2023年北京卷：第18题，13分

2024年新高考Ⅱ卷：第18题，17分

2024年北京卷：第18题，13分

从近几年的高考情况来看，本节是高考的重点、热点内容，主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差等，主要以解答题的形式考查，有时会与概率、统计、独立性检验等结合考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，灵活求解.

【知识点1离散型随机变量及其分布列】

1．随机变量与离散型随机变量

(1)随机变量

①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们

称X为随机变量.

②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

2．离散型随机变量的分布列

(1)定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)=

，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列.

(2)分布列的表格表示

X

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示.

(3)离散型随机变量分布列具有的两个性质

①0，i=1，2，，n；

②+++=1.

3．离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

4．离散型随机变量分布列的求解步骤

第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；

第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；

第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；

第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.

【知识点2离散型随机变量的数字特征】

1．离散型随机变量的均值

(1)定义

一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示：

X

x1

x2

xn

P

p1

p2

pn

则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称

期望，它反映了随机变量取值的平均水平.

(2)对均值(期望)的理解

求离散型随机变量的期望应注意：

①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.

②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是

不变的，它描述X取值的平均状态.

③均值与随机变量有相同的单位.

2．离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义

设离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

xi

xn

P

p1

p2

pi

pn

则称D(X)=+++=为随机变量X

的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程

度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

3．均值与方差的性质

(1)均值的性质

若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特别地，当a=0时，E(b)=b；

当a=1时，E(X+b)=E(X)+b；

当b=0时，E(aX)=aE(X).

(2)方差的有关性质

当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X).

特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)；

当b=0时，D(aX)=D(X).

4．求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤

(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值.

(2)求ξ取每个值的概率.

(3)写出ξ的分布列.

(4)由均值的定义求E(ξ).

(5)由方差的定义求D(ξ).

【方法技巧与总结】

1．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数.

2．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2