第11章解三角形章末题型归纳总结（基础篇）（8大题型）.docx

第11章解三角形章末题型归纳总结（基础篇）

【题型归纳目录】

题型一：应用正弦、余弦定理解三角形

题型二：判断三角形的形状

题型三：正弦、余弦定理在实际中的应用

题型四：三角形多解问题

题型五：三角形范围与最值问题

题型六：图形类问题

题型七：角平分线问题、中线问题、高问题

题型八：三角形中的面积与周长问题

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点1：基本定理公式

（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

；

；

．

常见变形

（1），，；

（2），，；

；

；

．

（2）面积公式：

（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）

知识点2：相关应用

（1）正弦定理的应用

=1\*GB3①边化角，角化边

=2\*GB3②大边对大角大角对大边

=3\*GB3③合分比：

（2）内角和定理：

=1\*GB3①

同理有：，．

=2\*GB3②；

=3\*GB3③斜三角形中，

=4\*GB3④；

=5\*GB3⑤在中，内角成等差数列．

知识点3：实际应用

1、仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．

2、方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．

3、方向角：相对于某一正方向的水平角．

（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．

（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．

（3）南偏西等其他方向角类似．

4、坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．

解题方法总结

1、方法技巧：解三角形多解情况

在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．

3、三角形中的射影定理

在中，；；．

【典型例题】

题型一：应用正弦、余弦定理解三角形

【典例11】在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（????）

A．或 B．或3 C．或3 D．3

【答案】A

【解析】由题意及正弦定理，得，解得.

又，故，于是或，均符合题意.

当时，，由正弦定理，得，解得；

当时，，此时是等腰三角形，.

故选：A

【典例12】在中，角所对三条边为，已知，则角（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，

所以，且，

所以.

故选：B.

【变式11】在中，角，，的对边分别是，，，，则角（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，

则，所以，即，

因为为三角形内角，所以，，则，所以；

故选：B

【变式12】在中，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵，

∴由余弦定理，

则得，

∴解得：，或（舍去），

∴由正弦定理可得：．

故选：B.

【变式13】在中，若，则角（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理可知，可化为，

又，则，即，

再根据正弦定理可知，，

又，即，则，

又，所以.

故选：D.

题型二：判断三角形的形状

【典例21】在中，已知，则的形状一定为（????）

A．等腰三角形 B．锐角三角形

C．直角三角形 D．钝角三角形

【答案】C

【解析】因为，

所以，

所以，由正弦定理可得，

所以为直角三角形.

故选：C

【典例22】在中，分别为角的对边），则的形状可能是（????）

A．正三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形

【答案】B

【解析】因为，

所以，即，即，

由正弦定理可得，

所以，得，

在中，所以，

又，所以，即三角形为直角三角形.

故选：B.

【变式21】在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（????）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】A

【解析】因为

所以，

整理得，

即的形状是等腰三角形.

故选：A.

【变式2