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参数方程

1．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x＝2cosθ，x＝1＋tcosα，

(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为

y＝4sinθy＝2＋tsinα

参数)．

(1)求C和l的直角坐标方程；

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

xy22

解：(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.

416

当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，

当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

22

α)t

(1＋3cos＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个

解，

设为t，t，则t＋t＝0.

1212

42cosα＋sinα

又由①得t＋t＝－，

121＋3cos2α

故2cosα＋sinα＝0，

于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

2．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程

x＝cosθ，

为(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l与

y＝sinθ

⊙O交于A，B两点．

(1)求α的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．

解：(1)⊙O的直角坐标方程为x＋y＝1.22

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π

α＝时，l与⊙O交于两点．

2

π

α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－2.l与⊙O交于

2

两点当且仅22＜1，

1＋k

解得k＜－1或k＞1，

π3πππ

即α∈，或α∈，.



2442

π3π

综上，α的取值范围是，.



44

(2)l的参数方程为

x＝tcosα，π3π

t为参数，＜α＜.



y＝－2＋tsinα44

设A，B，P对应的参数分别为t，t，t，

ABP