2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第2章-2.2空间向量及其运算（第2课时）.pptx

2.2空间向量及其运算第2章第2课时

学习目标1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象

新知讲解?oB?关键是起点相同！新知学习????思考空间中的任意两个向量是不是共面的？是，空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量.

(2)范围：.0≤〈a，b〉≤π?OAB?ABOAB???????O??????????规定零向量与任意向量垂直.

二两个向量的数量积??(2)性质两个向量数量积的性质a·b＝0|a|·|b|－|a|·|b||a|2（判断向量垂直）（向量的模长公式）（向量的夹角公式）

三空间向量数量积运算律???????（交换律）（分配律）?（数乘结合律）

?四投影向量

?（1）（2）（3）解读：向量b在向量a方向上的投影|b|cos〈a，b〉的符号由夹角〈a，b〉的余弦值的符号决定.

即时巩固?×√×√

一、数量积的计算?典例剖析＝cos60°－cos60°＝0.

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跟踪训练(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（）A.1 B.2 C.3 D.4A?2＝4－0＋0－2＝2.

二、利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.又∵OG∩BD＝O，OG?平面GBD，BD?平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.

反思感悟反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.

跟踪训练如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.证明在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，所以AD2＋BD2＝AB2，

三、用数量积求解夹角和模例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点.

延伸探究

2.(变条件)本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.

反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cos〈a，b〉＝求cos〈a，b〉，进而确定〈a，b〉.(2)求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量；②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离).

A.30° B.60° C.90° D.120°D跟踪训练

1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（）A随堂小测2.设ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有（）C

D4.若a，b，c为空间两两夹角都是60°的三个单位向量，则|a－b＋2c|＝_____.解析|a－b＋2c|2＝(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝5.

60°1即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，方法二根据向量的线性运算可得

7.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.解由AC⊥α，可知AC⊥AB，过点D作DD1⊥α，D1为垂足，连接BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，所以∠BDD1＝60°，因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，因为BD⊥AB，AC⊥AB，＝242＋72＋242＋2×24×24×cos120°＝625，

1.知识清单：(1)空间向量的夹角、投影向量.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：空间向量的数量积的注意点(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.课堂小结

谢谢！