专题02复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破（11类题型清单）（原卷版）.docx

专题02复数的几何表示及三角表示知识归纳与题型突破

知识点1复数的几何表示

1.复数的几何意义：

（1）复平面的定义

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

（2）复数的几何意义

①每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.

②若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是(a，b)，不是(a，bi).

③复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.

如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量表示.

复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量的一一对应关系如下：

2.复数的模：

（1）复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝

当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.

（2）复数模的几何意义

复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.

由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.

（3）模的重要性质：①；②；③.

3.复数的共轭复数：（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

（2）

（3）共轭复数的性质：

①；②；③.

4.复数加减法的几何意义：

z1、z1、z3∈C，设eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且eq\o(OZ1,\s\up6(→))、eq\o(OZ2,\s\up6(→))不共线

加法

减法

几何

意义

复数的和z1＋z2与向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ,\s\up6(→))的坐标对应

复数的差z1－z2与向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))－eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝eq\o(Z2Z1,\s\up6(→))的坐标对应

知识点2复数的三角表示

1.i2=1的几何意义：

2.旋转任意角：

3.复数三角表示：

（1）辐角：θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，记作argz=θ.若θ是z的一个辐角，则z的所有辐角argz=θ+2kπ（k为整数）

复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模.

4.复数三角形式的运算：

（1）乘法：设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，

①z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)=r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．

②推广：

③乘方：……棣莫佛公式

（2）除法：设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，

＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．

即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

题型一复数用点、向量表示

【例1】（2324高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求：

(1)对角线所表示的复数；

(2)求点对应的复数.

【变式11】（2324高一·上海·课堂例题）如果复平面上的向量所对应的复数是，那么向量所对应的复数是（????）

A． B． C． D．

【变式12】（湖南省部分学年高三下学期入学检测联考数学试题）复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【变式13】（2324高一·上海·课堂例题）设复数、、、、．

(1)在复平面上分别作出这些复数所对应的点A、B、C、D、E；

(2)在复平面上分别作出这些复数的共轭复数所对应的向量．

题型二根据复数对应的点求参数

【例2】（2223高一下·江苏南通·阶段练习）已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限.

(1)求z；

(2)若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求

【变式21】（多选）（2425高一下·全国·课后作业）（多选）若复数