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导数大题题型分类答案

题型一：直接法分类讨论

1.已知函数，.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当时，，，

所以在上单调递增，故.

（2）由题意，，

①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，故，不合题意；

②当时，，所以当时，，从而在上单调递增，

又，所以当时，，从而在上不能恒成立，不合题意；

③当时，对任意的，，所以，从而在上单调递减，

结合知恒成立，满足题意；

综上所述，实数a的取值范围为.

2．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意恒有，求a．

【解析】（1）因为，

当时，对任意都有，函数的单调增区间为

当时，由，得，

时，，时，，

所以函数的单调增区间为，单调减区间为．

综上，当时，函数的单调增区间为，

当时，函数的单调增区间为，单调减区间为；

（2）因为对任意恒有，所以

设，

根据题意，对任意，要求，，

①当时，，时，，为上单调增函数，

所以时，，

时，，为上单调减函数，

所以时，，此时，对任意恒有；

②当时，由得，，

时，，为上单调增函数，

因为，所以，不符题意；

③当时，由得，，时，，为上单调减函数，

因为，所以，不符题意；

④当时，对任意都有，为R上单调减函数，

所以时，，不符题意；

综上，当时，对任意恒有．

题型二.导数恒成立之参变分离：

3.已知函数，.

（1）若的图像在处的切线经过点，求的值；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

【解析】（1）由题知的定义域为.又，则.

又因为，所以切点为.所以，解得.

（2）当时，.当时，不等式恒成立

即不等式，恒成立.

设，，则.

因为，所以.所以在上单调递减，从而.

要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范围为.

4．已知函数，．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）设，若在上有两个零点，求实数的取值范围．

【解析】（1）当时，，所以，所以，，

所以曲线在点处的切线方程，即.

（2）由题意知：在上有两个零点，

显然，由，得，

令，则，令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，

又，时，，故当在上有两个零点时，，所以，

所以实数的取值范围为.

题型三.隐零点问题

5．已知函数．

（1）若函数，讨论在的单调性；

（2）若，对任意恒成立，求整数k的最大值．

【解析】（1）因为，

令，则．

所以函数在单调递增，从而，所以．

由，得；由，得，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（2）因为，对任意恒成立，

所以．

令，则，所以在R上单调递增，

又，，所以存在唯一的，使得，

又，由（1）知当时，，所以，

所以存在唯一的，使得，即．

当时，，所以单调递减；

当时，，所以单调递增，

所以，

，，又，所以k的最大值为．

6,已知函数

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)若，对任意的恒成立，求m的最大值.

【答案】(1)递增区间为，递减区间为，极小值为，没有极大值;(2)3

【解析】(1)函数的定义域为，由，令可得，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴???函数的递增区间为，递减区间为，

函数在时取极小值，极小值为，函数没有极大值

(2)当时，不等式可化为，

设，由已知可得，又，

令，则，

∴???在上为增函数，又，，

∴存在，使得，即

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

∴???，

∴???，∴m的最大值为3.

7．已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若对任意，都有恒成立，求整数a的最大值.

【解析】（1）当时，，定义域为

，注意到

当时，单调递增，

当时，单调递减。

∴的单调递增区间为，递减区间为，

在时取得极大值且极大值为，无极小值.

（2）原不等式恒成立，变形有，

∵x1即在恒成立.

设原问题等价于，

，令，

则，在单调递增，

，

由零点存在定理有在存使即，

当时，单调递减，

当时，单调递增

，利用，

，，的最大值为4.

题型四：利用导数求解函数的最值

8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数．

(1)当时，求的最大值；

(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.

【详解】（1）当时，，则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以；

（2），则，

当时，，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以，此时函数无零点，不合题意；

当时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；

又，

由（1）得，即，所以，

当时，，

则存在，使得，

所以仅在有唯一零点，符合题意；

当时，，所以单调递增，又，

所以有唯一零点，符合题意；

当时，，在上，，单调递增