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专题04全等模型-半角模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模

型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与

半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。半角模型（题中出现角度之间的半

角关系）利用旋转证全等得到相关结论

————.

模型1.半角模型（90°-45°型）

【模型展示】

1）正方形半角模型

条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF45°；

结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长2AB；



⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型

条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE45°；



222

结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG90°；④DE＝BD＋EC；

12022··ABCDMAN45MANA

例．（重庆南川九年级期中）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它

BCDC（）MN

的两边分别交、或它们的延长线于点、．

(1)MANABMDN（1）(2)ABMDN（2）

当绕点旋转到时如图，证明：MN2BM；绕点旋转到时如图，

MNBMDN(3)MANA3DNMN

求证：；当绕点旋转到如图位置时，线段BM、和之间有怎样的数量

关系？请写出你的猜想并证明．

例．（·辽宁沈阳八年级阶段练习）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若

22022·1

以AM，AN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分点．

（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝3，MN＝5，求BN的长；

22Rt90°45°

（）如图，在△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝，则点M、N

“”“”24

是线段的勾股分割点吗？（直接回答：是或不是）若是说明理由，当＝，＝，则

ABAM3MN

BN＝．

32023··45°

例．（广东广州九年级校考期中）已知：正方形中，∠＝，∠绕点顺时针旋转，

ABCDMANMANA