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大二高数竞赛试题及答案

姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共20分）

1.设函数f(x)=x^3-3x+2，则f(x)的零点为：

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

2.设向量a=(1,2,3)，向量b=(3,4,5)，则向量a与向量b的点积为：

A.14

B.10

C.6

D.8

3.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定存在：

A.在区间端点

B.在区间内

C.在区间端点或区间内

D.不一定存在

4.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，则矩阵A的行列式为：

A.2

B.5

C.8

D.10

5.若数列{an}是等比数列，且a1=2，q=3，则an=：

A.2*3^(n-1)

B.2/3^(n-1)

C.6*3^(n-1)

D.6/3^(n-1)

二、填空题（每题5分，共20分）

1.设函数f(x)=e^x，则f(x)=________。

2.设向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，则向量a与向量b的叉积为________。

3.若函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数为________。

4.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，则矩阵A的逆矩阵为________。

5.若数列{an}是等差数列，且a1=5，d=2，则an=________。

三、解答题（每题20分，共60分）

1.已知函数f(x)=x^3-3x+2，求f(x)的导数。

2.设向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，求向量a与向量b的点积。

3.设函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

4.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\)，求矩阵A的行列式。

5.设数列{an}是等比数列，且a1=2，q=3，求an。

四、证明题（每题20分，共40分）

1.证明：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)，则存在至少一个点c∈(a,b)，使得f(c)=0。

2.证明：设矩阵A是一个n阶可逆矩阵，证明A的伴随矩阵A*也是可逆的，并求出A*的逆矩阵。

五、应用题（每题20分，共40分）

1.已知某商品的需求函数Q=100-2P，其中P为价格，Q为需求量。求该商品的需求价格弹性，并解释其经济意义。

2.设某工厂的生产函数为Q=2L^0.5K^0.5，其中L为劳动力，K为资本。求该工厂的边际产量函数，并解释其经济意义。

六、综合题（每题20分，共40分）

1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求f(x)的极值点，并判断其性质（极大值或极小值）。

2.设矩阵A=\(\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\)，求矩阵A的特征值和特征向量。

试卷答案如下：

一、选择题

1.B.x=-1

解析思路：通过对f(x)进行因式分解，可以得到f(x)=(x+1)(x-1)^2，从而找到零点x=-1。

2.A.14

解析思路：向量a和向量b的点积计算公式为a·b=a1*b1+a2*b2+a3*b3，代入数值计算得14。

3.C.在区间端点或区间内

解析思路：根据连续函数的性质，极值一定存在于闭区间[a,b]的端点或区间内。

4.D.10

解析思路：矩阵A的行列式计算公式为|A|=a11*a22-a12*a21，代入数值计算得10。

5.A.2*3^(n-1)

解析思路：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，代入a1=2和q=3得到an=2*3^(n-1)。

二、填空题

1.e^x

解析思路：函数f(x)的导数公式为f(x)=d/dx(e^x)