解三角形中的最值范围问题教学设计-高三数学一轮复习.docx

《解三角形中的最值（范围）问题》教学设计

一、教材和高考分析

（一）教材分析

本节课复习的内容是解三角形最值范围问题，是三角函数、三角恒等变换、正弦定理余弦定理等内容的综合应用。解三角形是处理平面几何定量计算的有力手段，也为空间立体几何中的计算打好基础，解三角形中还体现了向量的工具性作用，也是向量学习的延续。同时还可以将平面几何坐标化，用解析法研究三角形。正是因为三角形具有“形”的直观，还具有边长、角、坐标等“数”的运算，成为考查各种综合知识、数形结合思想的良好载体。在解三角形中引入最值范围，又与函数与方程的思想巧妙的融合。研究三角函数最值范围能够提升学生逻辑思维能力、运算求解能力。

（二）高考分析

在解三角形的背景下，设置与角度、边长、周长、面积等相关的取值范围或最值问题，成为十分常见的命题角度，这类题注重与函数、不等式、向量、解析几何、平面几何等知识的交汇，符合新高考强调考查内容的综合性。?

从近年的考查情况看来，这一节内容是高考的重点也是难点。主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，多与三角恒等变换等进行综合命题，既有选择、填空，也有解答题，分值是512分，难度大多属于中档。本专题主要从解三角中的范围问题的求解入手，引导学生从角和边，从正弦定理和余弦定理，从三角函数求最值和基本不等式求最值三个维度来引导学生，突破学生解决这类问题的难点，同时也提升了学生的逻辑推理、数学运算的数学核心素养。

二、学情和教学问题诊断

学生刚刚复习了三角函数、恒等变换、解三角形的相关知识点，对三角函数和与差公式、二倍角公式已经熟练掌握，基于这是复习课，学生对解三角形中化简求角已经有了初步的理解和掌握，本节课在新课的基础上进一步去探究解三角形中出现的最值问题，综合性较强，对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，学生学习起来比较困难。因此在教学过程中必须调动学生积极思考和留下给学生独立思考的时间。

教学中可能遇到的问题有：函数思想在复杂函数时不能灵活应用，锐角三角形求角的范围时不够精准，数形结合时圆和椭圆的轨迹思维不够开阔（数形结合主要在下一课时讲解）。面对具体题目时不能选择恰当的方法快速破题。

三、教学目标分析

基于上述分析，确定本节课目标如下：

（1）能够从边、角、数形结合（数形结合主要在下一课时讲解）的角度掌握三角形的最值范围问题，感受数学思维的灵活性。

（2）能够分辨上述不同方法的优缺点以及使用的情形，针对不同的情境，选择恰当的方法。

（3）通过研究解三角形中的最值范围问题，渗透函数方程思想、数形结合思想、强化逻辑推理、直观想象的核心素养。

教学重点：从边、角、形的角度解决三角形的最值范围问题

教学难点：各种方法的选择以及综合应用

四、教学过程

教学过程

设计意图

一、问题引入，直奔主题

例：在ABC中，=2，，求△ABC面积的最大值。

【学习导问】面积如何表示？求面积的最大值可以转化为求谁的最大值？

【学生活动】，求面积的最大值实际是求bc的最大值。

二、剖析思路，提炼方法

【学习导问】大家有哪些方法可以求面积的最值？

【学生活动】学生思考解题方法，有思路的学生向全班展示自己的方法，教师补充。

解法一：余弦定理+不等式

，由余弦定理得，又，所以，，当且仅当时等号成立.

解法二：正弦定理+消元变为一个角+三角函数

由正弦定理得，

所以

又，所以当时，面积取到最大值.

解法三：几何直观——动点问题轨迹化

轨迹是一个段优弧，不难观察出当点A为线段BC的中垂线与圆的交点时，面积最大..

三、类比迁移，巩固提升

变式1：在例题基础上求△ABC周长的取值范围

【学生活动】请两位学生上黑板演示，每位同学演示不同的方法，其余学生在下面独立思考解题方法并作答。

【学习导问】大家对解三角形最值问题的方法都比较熟悉了，以下三个变式题大家可以快速选择求解方法吗？

变式2：若例题增加条件△ABC为锐角三角形，如何求面积和周长的范围？

变式3：在例题基础上求c+2b、a+

变式4：在例题基础上求sinA+sinC的范围

【学习导问】通过以上例题及变式，大家可以总结解三角形中最值的方法分别适用于什么情形吗?

变式5.(2019全国Ⅲ卷改编)在锐角AABC中，=2，B=π3，

解法一：正弦定理+消元变为一个角+三角函数

是锐角三角形，又，所以，则．

因为，所以，则，

从而，故面积的取值范围是．

解法二：余弦定理+不等式

由题设及（1）知的面积．

因为为锐角三角形，且，

所以即

又由余弦定理得，所以即，

所以，故面积的取值范围是．

解法三：几何直观——数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】

如图1，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．由题设及（1）知的面积，因为为锐角三角形，且，

所以点C位于在线段上且不含端点，从而，

即，即，所以