2025版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式学案文含解析新.docxVIP

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其次节同角三角函数的基本关系与诱导公式

2024考纲考题考情

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。

(2)商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)。

2．三角函数的诱导公式

公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z。

公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα。

公式三：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα。

公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα。

公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα。

公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα。

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；

sinα＝tanα·cosα。

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的改变。

一、走进教材

1．(必修4P19例6改编)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，则tanα＝()

A．－2 B．2

C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)

解析因为cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2)＝－eq\f(2\r(5),5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)。

答案D

2．(必修4P20练习T4改编)化简eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝________。

解析eq\f(1－cos22θ,cos2θtan2θ)＝eq\f(sin22θ,cos2θ·\f(sin2θ,cos2θ))＝sin2θ。

答案sin2θ

二、走近高考

3．(2024·全国卷Ⅲ)若tanα＝eq\f(3,4)，则cos2α＋2sin2α＝()

A．eq\f(64,25) B．eq\f(48,25)

C．1 D．eq\f(16,25)

解析cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋4sinαcosα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1＋4tanα,1＋tan2α)＝eq\f(1＋4×\f(3,4),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(64,25)。

答案A

4．(2024·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。若sinα＝eq\f(1,3)，则sinβ＝________。

解析由题意可知角α在第一或其次象限，若角α与角β的终边关于y轴对称，则β＝2kπ＋π－α(k∈Z)，所以sinβ＝sin(π－α)＝sinα＝eq\f(1,3)。

答案eq\f(1,3)

三、走出误区

微提示：①不会运用消元思想转化为关于tanx的齐次式；②不会对式子变形，且不留意角的范围出错；③诱导公式记忆不熟出错。

5．已知tanx＝2，则sin2x＋1的值为()

A．0 B．eq\f(9,5)

C．eq\f(4,3) D．eq\f(5,3)

解析sin2x＋1＝eq\f(2sin2x＋cos2x,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2tan2x＋1,tan2x＋1)＝eq\f(9,5)，故选B。

答案B

6．化简cosαeq\r(\f(1－sinα,1＋sinα))＋sinαeq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πα\f(3π,2)))得()

A．sinα＋cosα－2 B．2－sinα－cosα

C．sinα－cosα D．cosα－sinα

解析原式＝cosαeq\r(\f(?1－sinα?2,cos2α))＋sinαeq\r(\f(?1－cosα?2,sin2α))＝cosα·eq