2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题8.8直线与圆锥曲线的位置关系【七大题型】

【新高考专用】

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【题型1直线与圆锥曲线的位置关系】 4

【题型2圆锥曲线的弦长问题】 4

【题型3圆锥曲线的中点弦问题】 6

【题型4圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题】 7

【题型5圆锥曲线中的最值问题】 8

【题型6圆锥曲线中的向量问题】 10

【题型7圆锥曲线中的探索性问题】 11

1、直线与圆锥曲线的位置关系

考点要求

真题统计

考情分析

(1)了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法

(2)掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式

(3)能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题

2022年新高考全国I卷：第22题，12分

2022年新高考全国Ⅱ卷：第22题，12分

2023年新高考I卷：第22题，12分

2023年新高考Ⅱ卷：第21题，12分

2023年全国甲卷（理数）：第20题，12分

2024年新高考I卷：第16题，15分

2024年新高考Ⅱ卷：第10题，6分

2024年新高考Ⅱ卷：第19题，17分

圆锥曲线是高考的热点内容，直线与圆锥曲线的位置关系是每年高考必考内容.从近几年的高考情况来看，本节内容主要以解答题的形式考查，考查方向主要有两个方面：一是平面解析几何通性通法的研究；二是圆锥曲线中的弦长、面积、最值、定点、定值或定直线等问题的求解；有时会与向量、数列等知识结合考查，其思维要求高，计算量较大，需要灵活求解.

【知识点1直线与圆锥曲线的位置关系】

1．直线与圆锥曲线的位置判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离.

特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.

②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.

【知识点2圆锥曲线中的弦长问题】

1．椭圆的弦长问题

(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.

(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1(ab0)于，两点，

则或.

2．双曲线的弦长问题

①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d.

②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.

③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直

线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.

④双曲线的通径：

过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还

是在y轴上，双曲线的通径总等于.

3．抛物线的弦长问题

设直线与抛物线交于A,B两点，则

|AB|==或

|AB|==(k为直线的斜率，k≠0).

【知识点3圆锥曲线中的中点弦与焦点弦问题】

1．椭圆的“中点弦问题”

(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法

①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决.

②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

点坐标和斜率的关系.

设，，代入椭圆方程+=1(ab0)，

得，

①-②可得+=0，

设线段AB的中点为，当时，有+=0.

因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦

中点轨迹问题的常用方法.

(2)弦的中点与直线的斜率的关系

线段AB是椭圆+=1(ab0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标

为，则弦AB所在直线的斜率为，即.

2．双曲线的“中点弦问题”

“设而不求”法解决中点弦问题：

①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验.

②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.

3．抛物线的焦点弦问题

抛物线=2px(p0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标).

设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为：

标准方程

弦长公式

y2=2px(p0)

|AB|=x1+x2+p

y2=-2px(p0)

|AB|=p-(x1+x2)

x2=2py(p0)

|AB|=y1+y2+p

x2=-2py(p0)

|AB|=p-(y1+y2)

【知识点4圆锥曲线中最值问题的解题策略】

1.处理圆锥曲线