2025年高考数学复习核心考点(新高考专用)专题10.8二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】特训(学生版+解析).docxVIP

专题10.8二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1二项分布】 3

【题型2独立重复试验的概率问题】 4

【题型3超几何分布】 5

【题型4二项分布与超几何分布的综合应用】 6

【题型5正态密度函数】 8

【题型6正态曲线的性质】 9

【题型7正态分布的概率计算】 9

【题型8正态分布的实际应用】 10

1、二项分布、超几何分布与正态分布

考点要求

真题统计

考情分析

(1)理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题

(2)借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用

2022年新高考Ⅱ卷：第13题，5分

2023年新高考I卷：第21题，12分

2024年新高考I卷：第9题，6分

从近几年的高考情况来看，本节是高考的热点内容，主要考查二项分布、超几何分布及其期望与方差、正态分布等内容，正态分布主要以选择、填空题的形式考查，难度不大；在解答题中主要考查二项分布、超几何分布的期望与方差问题，有时会与统计、独立性检验等结合考查，难度中等偏难，关键在于求出概率列出分布列，复习时需要加强这方面的练习.

【知识点1二项分布】

1．伯努利试验

(1)伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

(2)n重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次；

②各次试验的结果相互独立.

2．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p).

3．二项分布的期望与方差

一般地，如果XB(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).

4．判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

【知识点2超几何分布】

1．超几何分布

(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽

取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m={0，n-N+M}，r=.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)==np.

(2)求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布；

②套用超几何分布中的概率公式,注意理解公式中各量的意义.

2．“二项分布”与“超几何分布”的区别

有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.

3．超几何分布的应用

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

【知识点3正态分布及其解题策略】

1．正态分布

(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中∈R，0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地，

当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若XN(,)，则E(X)=，D(X)=.

2．3原则

(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学

中称为3原则.

3．正态分布问题的解题策略

解决正态分布问题有三个关键点：

(1)对称轴x=μ；

(2)标准差σ；

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【方法技巧与总结】

1．二项分布当n=1时就是两点分布.

2．超几何分布有时也记为X~H(n,M,N)，其均值E(X)=，方差.

3．若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲