动力学中的临界极值问题.pdf

动力学中的临界极值问题

1.“四种”典型临界条件

(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F＝0.

N

(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑

动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.

(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条

件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是：F＝0.

T

(4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时.

2.“四种”典型数学方法

(1)三角函数法；

(2)根据临界条件列不等式法；

(3)利用二次函数的判别式法；

(4)极限法.

例1

第1页共4页

如图1所示，静止在光滑水平面上的斜面

体，质量为M，倾角为α，其斜面上有一静止的滑块，质量为m，两者之间的动摩擦因数为

μ，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，重力加速度为g.现给斜面体施加水平

向右的力使斜面体加速运动，求：

图1

(1)若要使滑块与斜面体一起加速运动，图中水平向右的力F的最大值；

(2)若要使滑块做自由落体运动，图中水平向右的力F的最小值.

第2页共4页

①滑块与斜面体一起加速运动；②滑块做自

由落体运动.

m＋Mgμcosα－sinαMg

答案(1)μsinα＋cosα(2)tanα

解析(1)当滑块与斜面体一起向右加速时，力F越大，加速度越大，当F最大时，斜面体

对滑块的静摩擦力达到最大值Ffm，滑块受力如图所示.

设一起加速的最大加速度为a，对滑块应用牛顿第二定律得：

Fcosα＋Fsinα＝mg①

Nfm

Fcosα－Fsinα＝ma②

fmN

由题意知Ffm＝μFN③

μcosα－sinα

联立解得a＝g

cosα＋μsinα

对整体受力分析F＝(M＋m)a

第3页共4页

m＋Mgμcosα－sinα

联立解得F＝

μsinα＋cosα

(2)如图所示，要使滑块做自由落体运动，滑块与斜面体之间没有力的作用，滑块的加速度

为g，设此时M的加速度为a，则对M：F＝Ma

MM

1

2gt2g

当水平向右的力F最小时，二者没有相互作用但仍接触，则有＝tanα，即＝tanα联

1a

M