2025年中考数学二次函数压轴题专题练习18数学建模（含解析）.docxVIP

专题18二次函数与数学建模

例（2024?雁塔区校级二模）

1．根据以下素材，探索完成任务．

素材1

一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图1中的阴影部分）．

素材2

从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2是该喷泉时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米．

问题解决

任务1

建立模型

（1）以点为原点，OA所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式．

任务2

利用模型

（2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉．确定喷水口升高的最小值

任务3

分析计算

（3）喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议．

对应练习：

（2024?青岛）

2．5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

A樱桃园

第x天的单价、销售量与x的关系如下表：

单价（元/盒）

销售量（盒）

第1天

50

20

第2天

48

30

第3天

46

40

第4天

44

50

…

…

…

第x天

10x+10

第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元．

B樱桃园

第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图：

(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；

(2)求A樱桃园第x天的利润（元）与x的函数关系式；（利润单价销售量固定成本）

(3)①与x的函数关系式是______；

②求第几天两处樱桃园的利润之和（即）最大，最大是多少元？

(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润比A樱桃园的利润大．

（2024?盐城）

3．请根据以下素材，完成探究任务．

制定加工方案

生产背景

背景1

◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式．

◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件．

◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.

背景2

每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为：

①“风”服装：24元/件；

②“正”服装：48元/件；

③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．

信息整理

现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下：

服装种类

加工人数（人）

每人每天加工量（件）

平均每件获利（元）

风

y

2

24

雅

x

1

正

1

48

探究任务

任务1

探寻变量关系

求x、y之间的数量关系．

任务2

建立数学模型

设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．

任务3

拟定加工方案

制定使每天总利润最大的加工方案．

（2024?鄞州区校级一模）

4．根据下列素材，探索完成任务．

如何设计跳绳的方案

素

材

1

参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2人，共计8人，他们在同一平面内站成一路纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队员水平间距为5米，他们的手到地面的高度米，绳子最高点距离地面2米．

??

素

材

2

某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男生身高均在－米，女生身高一人为米高，两人都为米，为保证安全，跳绳队员之间的距离至少米．

问题解决

任

务

1

确定长绳在最高点时的形状

在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．

任

务

2

探究站队的方式

若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳能否顺利甩过所有队员的头顶？

任

务

3

设计位置方案

为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位队员横坐标的取值范围．

（2024?山西）

5．综合与实践

问题情境：如图①，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．

方案设计：如图②，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：

第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；

第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月