2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第2章-2.4空间向量在立体几何中的应用-2.4.3 向量与夹角.pptx

2.4;1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角.

2.能用向量方法解决简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.

核心素养：数学推理、数学运算、直观想象.;新知学习;?;?;?;?;三两个平面所成的角;1.判断正误

(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.()

(3)直线与平面所成的角等于直线的方向向量与该平面法向量夹角的余角.();一、直线与直线所成的角;反思感悟求异面直线夹角的方法

(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解.

(2)向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则与可分别为a，b的方向向量，则cosθ＝.;跟踪训练如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）;二、直线与平面所成的角;(2)求SN与平面CMN所成角的大小.;反思感悟;跟踪训练如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.;三、两个平面的夹角;(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.;反思感悟求两平面夹角的两种方法

(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.;跟踪训练如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.;四空间向量和实际问题

例4如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，甲乙之间拉紧的绳长为d，求库底与水坝所在平面夹角的余弦值.;反思感悟利用空间向量解决实际问题

(1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题.

(2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养.;1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为（）;3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）;4.若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的余弦值为（）;5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为（）;6.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.;7.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________.;8.已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC夹角的余弦值等于________.;9.在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝____.;10.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____.;11.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点.;(2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值；;(3)求平面B1EDF与平面ABCD夹角的余弦值.;课堂小结;谢谢！