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广东高数插本试题及答案

姓名：____________________

一、选择题（每题2分，共20分）

1.设函数\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(1)\)等于：

A.0

B.1

C.-1

D.3

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)等于：

A.1

B.2

C.0

D.无穷大

3.已知\(\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}\)，则\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)等于：

A.1

B.\(\frac{4}{3}\)

C.\(\frac{2}{3}\)

D.\(\frac{5}{3}\)

4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=A\)，则\(A\)必然是：

A.非零矩阵

B.零矩阵

C.可逆矩阵

D.对角矩阵

5.设\(y=e^x\)，则\(\frac{dy}{dx}\)等于：

A.\(e^x\)

B.\(e^x\cdotx\)

C.\(e^x\cdot(1+x)\)

D.\(e^x\cdot(1-x)\)

6.若\(\sinx+\cosx=1\)，则\(\sin2x\)等于：

A.1

B.0

C.-1

D.无解

7.设\(f(x)=\frac{1}{x}\)，则\(f\)在\(x=0\)处的导数等于：

A.无穷大

B.0

C.-1

D.1

8.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-1}{x-1}=\infty\)，则\(x\)的取值范围是：

A.\(x1\)

B.\(x1\)

C.\(x0\)

D.\(x0\)

9.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A\)的行列式\(\det(A)=0\)，则\(A\)必然是：

A.可逆矩阵

B.非零矩阵

C.零矩阵

D.对角矩阵

10.若\(y=\lnx\)，则\(\frac{dy}{dx}\)等于：

A.\(\frac{1}{x}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(x\)

D.\(x^2\)

二、填空题（每题3分，共15分）

1.设\(f(x)=x^3-3x\)，则\(f(x)\)的表达式为_______。

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，则\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)等于_______。

3.设\(\int_0^1x^2\,dx=\frac{1}{3}\)，则\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)的值为_______。

4.设\(A\)是\(n\)阶方阵，且\(A^2=A\)，则\(A\)必然是_______。

5.设\(y=e^x\)，则\(\frac{dy}{dx}\)的值为_______。

三、解答题（每题10分，共30分）

1.求函数\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=1\)处的导数。

2.求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)。

3.求定积分\(\int_0^1(x^2+1)\,dx\)。

四、证明题（每题10分，共10分）

1.证明：若\(ab0\)，则\(a^2b^2\)。

五、应用题（每题10分，共10分）

1.已知函数\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f(x)\)在区间\([1,2]\)上的最大值和最小值。

六、综合题（每题10分，共10分）

1.设\(A\)是\(3\times3\)矩阵，且\(A=\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\)，求\(A\)的行列式\(\det(A)\)。

试卷答案如下：

一、选择题答案及解析：

1.B。