函数的单调性（第1课时)学案-高二下学期数学人教A版选择性.docx

5.3导数在研究函数中的应用

5.3.1函数的单调性（一）

【学习目标】

1.借助函数的图象理解函数的单调性与导数的关系；

2.会利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间；

3.提升直观想象、数学抽象、数学运算的核心素养.

重点：建立函数的单调性和导数的正负之间的联系；会求函数的单调区间；

难点：说明函数的单调性与导数的正负之间的关系.

【学习过程】

导：

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最值等性质，其中，函数的单调性是函数最重要的性质.在本章前面的学习中，我们知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量的刻画了函数的局部变化。本节课我们将探讨能否利用导数研究函数的单调性.

思：

阅读课本页，思考下列问题：

图(1)表示某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图像.图(2)是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图象.，是函数的零点.

问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

问题2：函数的单调性与的正负有内在联系，那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？

问题3：观察下面一些函数的图象，你能说明函数单调性与导数的正负的关系吗？

在某个区间上，如果____，则在区间上单调递_______；

在某个区间上，如果____，则在区间上单调递_______.

问题4：为什么函数的单调性和导数的正负之间有这样的关系？你能根据导数的几何意义进行说明吗？

问题5：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？

问题6：存在有限个点使得,其余点都恒有,则有什么特性?

问题7：回顾函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数的平均变化率的几何意义与正负的关系.

题型（一）利用导数研究函数单调性

例1利用导数判断下列函数的单调性：

（1）（2）

（3）

题型（二）画图象

例2已知导函数的下列信息：当时，当，或时，当，或时，试画出函数图象的大致形状.

题型（三）求单调区间

例3.求函数的单调区间，并试着画出此函数的大致图象.

议：

1.函数单调性与导数正负的关系.

2.如何利用导数判断函数的单调性？

3.如何利用导数求函数的单调区间？

展：例1例2变式1例3

评：

1.函数单调性与导数符号的关系.

2.利用导数判断函数单调性的步骤.

3.利用导数求函数单调区间的步骤.

检：

判断下列函数的单调性

(1)(2)(3)f(x)＝eq\f(x,lnx).

利用导数讨论的单调区间.

函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状.