2025年高考数学二轮复习思想03 运用函数与方程的思想方法解题（原卷版）.docx

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思想03运用函数与方程的思想方法解题

目录TOC\o1-4\h\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 7

题型一：运用函数的思想研究问题 7

题型二：运用方程的思想研究问题 8

题型三：运用函数与方程的思想研究不等式问题 10

题型四：运用函数与方程的思想研究其他问题 12

高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．

1、函数与方程是紧密相联、可以相互转化的．在研究方程解的存在性、方程解的个数、方程解的分布等问题时，一般利用方程的性质，对方程进行同解变形，进而构造函数，利用函数的图象与性质求解方程问题．例如，方程解的个数可以转化为函数的图象与轴交点的个数，也可以参变分离，转化为水平直线与函数图象交点的个数，也可以部分分离，转化为斜线与函数图象交点的个数，也可以构造两个熟悉函数，转化为两个函数图象交点的个数．

2、在研究函数问题时，运用方程的思想，设出未知数，通过题目中的等量关系，建立方程（组），进而求解方程（组），或者将方程变形，构造新函数，更易于研究其图象和性质．例如，在研究曲线的切线问题时，设出切点横坐标，得到切线斜率，切线方程为，从而将函数中的切线问题转化为关于切点横坐标的方程问题．

3、函数、方程、不等式三位一体，常常相互转化．在研究不等式的解集、不等式恒成立、不等式有解、不等式的证明等问题时，最重要的思想方法就是函数与方程思想，构造适当的函数，分析、转化不等式问题．例如，不等式或恒成立，可以转化为或．也可以考虑参变分离再求函数的最值．

4、函数与方程的思想贯穿高中数学的多个模块，在数列、解析几何、三角形、立体几何等内容中都有广泛的运用．函数思想体现的是运动与变化的观念，通过分析问题中的数量关系，建构函数，再运用函数的图象与性质分析．转化问题，进而解决问题．方程思想体现的是“动中求静”，寻求变化过程中保持不变的等量关系，建构方程（组），通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决．

1．（2024年北京高考数学真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．

(1)当时，求的单调区间.

(2)求证：不经过点.

(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？

（参考数据：，，）

2．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，证明：当时，恒成立．

3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)当时，，求的取值范围．

4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．

5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数

(1)若，且，求的最小值；

(2)证明：曲线是中心对称图形；

(3)若当且仅当，求的取值范围．

题型一：运用函数的思想研究问题

【典例1-1】已知函数.

(1)判断的零点个数；

(2)求曲线与曲线公切线的条数.

【典例1-2】若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.

(1)若为的“2倍点列”，求的前项和；

(2)若为的“1倍点列”且，求证：为定值；

(3)若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.

【变式1-1】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记，若函数与的图象有三个不同交点，求实数的取值范围.

【变式1-2】已知函数.

（1）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值.

（2）若函数存在两个极值点，求实数的取值范围.

1．已知函数.

（1）若，试判断的符号；

（2）讨论的零点的个数.

2．已知函数其中.

（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；

（2）若函数在上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

题型二：运用方程的思想研究问题

【典例2-1】已知函数，，其中

求函数的单调区间；

若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明；

证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线．

【典例2