超几何分布教学设计-高二下学期数学人教A版选择性.docx

高中数学选择性必修第三册7.2超几何分布

【教学内容】

超几何分布及其数字特征

【教学目标】

（1）能通过对比放回和不放回抽样说明超几何分布的特征，能求超几何分布的分布列、均值，发展学生的数学建模、数学抽象素养.

（2）能用自己的语言解释二项分布与超几何分布的区别与联系，并能够正确选择模型解决实际问题，发展学生的数学建模素养.

【教学重点与难点】

（1）教学重点：超几何分布，超几何分布的分布列和均值；

（2）教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，区别二项分布和超几何分布.

【教学过程设计】

引导语上一节我们认识了建立在n重伯努利试验基础上的二项分布，本节课我们来认识另外一种常见的概率分布模型.

环节一实例引入，提出问题

问题1大家面前有一个袋子，里面有100个小球，红球和黄球均为若干，现从中采用有放回方式随机抽取20个.设抽取的20个小球中红球数为X，求随机变量X的分布列.

（1）采用有放回抽样，随机变量X服从二项分布吗？

（2）如果采用不放回抽样，抽取的20个小球中红球数X服从二项分布吗？若不服从，那么X的分布列是什么？

师生活动学生先独立思考，尝试解决，同时教师予以引导

事实上，若采用有放回抽样，每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X～B（20，0.08）.若采用不放回抽样，则每次抽取时条件不同，且各次抽取的结果不独立，不满足n重伯努利试验的特征，此时X不服从二项分布，只能根据古典概型求X的分布列.而在不放回抽取试验中，逐个不放回抽取20个小球和一次性抽取20个小球，结果相同，X的分布列应该是相同的，故可用如下方法求X的分布列。

假如从100件产品中任取4件有种不同的取法，从100件产品中任取4件，次品数X可能取0，1，2，3，4.恰有k件次品的取法有种.

即随机变量X的分布列为

X

0

1

2

3

4

P

0.71257

0.25642

0.02898

0.00131

0.00002

设计意图通过具体的问题情境，引发学生积极思考并参与互动，说出自己的见解，从而引入超几分布的概念.

环节二抽象概念，内涵辨析

问题2上述问题不服从二项分布.你能说说这类不放回简单随机抽样的特征吗？你能根据这些征尝试归纳出这一类分布的概念吗？

师生活动学生观察比较上述问题的放回与不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，教师进行总结。

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

，其中k=m,m+1,……,r

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.记为

追问公式中各个字母的含义是什么？

师生活动N——总体中的个体总数；

M——总体中的特殊个体总数（如次品总数）；

n——样本容量；

K——样本中的特殊个体数（如次品数）.

设计意图通过比较放回与不放回简单随机抽样，归纳出超几何分布模型的特征，由特殊到一般地得出超几何分布的分布列，加深学生的理解和思考。

问题3假设现有一批零件共有30个，其中有3个不合格，随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.

师生活动教师可以采用下列问题对学生进行引导：零件中不合格品数服从什么分布？若服从超几何分布，则公式中的N，M，n，k在本题中各是多少？

设抽取的10个零件中不合格品数为X，则X服从超几何分布，且N＝30，M＝3，n＝10，X的分布列为

则至少有1件不合格的概率为

另解：

注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）在超几何分布中，只要知道参数N，M，n就可以根据公式求出X取不同值时的概率.

设计意图通过本例的分析与解答，促进学生进一步理解超几何分布的概念及其特点.

问题4根据已有经验，定义了超几何分布后，接下来要研究什么？

追问你能推导出服从超几何分布的随机变量的均值吗？

师生活动学生独立探究，然后展示、交流，教师子以引导完善，最后师生共同总结.

设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，猜想，即有.

实际上，由随机变量均值的定义，令,有

因为，所以

而超几何分布的方差计算比较复杂，不作要求，感兴趣的同学可以尝试推导：

设计意图通过探究服从超几何分布的随机变量的均值，加深学生对于超几何分布的认知，同时发展学生的逻辑推理能力.

环节三例题练习，巩固理解

问题5假如一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数

（1）分别就有放回和不放回摸球，求X的分布列；

（2）分