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《弹性力学导论》

课程简介与目标本课程旨在帮助您掌握弹性力学的基本原理，为后续学习更高级的力学课程奠定基础。课程内容涵盖了应力应变分析、弹性材料的本构关系、平面问题和轴对称问题的求解方法等。通过本课程的学习，您将能够理解材料在各种力作用下的行为，为解决工程问题提供理论基础。课程目标包括：理解应力应变概念，掌握应力应变分析的基本方法；掌握弹性材料的本构关系，理解弹性常数的物理意义；掌握平面应力问题和平面应变问题的求解方法；

弹性力学的重要性1弹性力学是固体力学的一个重要分支，在工程领域具有广泛的应用，例如：桥梁和建筑物的设计；飞机和轮船的设计；机械零件的设计；材料性能的评估

课程内容概览11.应力与应变分析：应力概念与应力张量；应变概念与应变张量；应力应变关系（本构方程）；弹性常数及其关系22.平面问题：平面应力问题；平面应变问题；圣维南原理33.轴对称问题：薄板弯曲理论；厚壁圆筒的应力分析；旋转圆盘的应力分析44.特殊问题：热应力问题；弹性稳定问题；弹性波

弹性力学的基本假设1.均匀性：材料在整个物体中具有相同的物理性质2.各向同性：材料在所有方向上具有相同的机械性质3.线性弹性：材料在力作用下，应力与应变成线性关系，且去除力后能完全恢复原状4.小变形：变形量远小于物体尺寸，可以忽略高阶项

应力概念与应力张量应力是材料内部由于外力作用而产生的抵抗变形的能力，其定义为作用在单位面积上的力。应力张量是一个包含三个应力分量的矩阵，用来描述材料内部的应力状态。应力张量是一个二阶张量，可以表示为：[σxxσxyσxz][σyxσyyσyz][σzxσzyσzz]其中，σij表示作用在i方向的单位面积上的j方向的力。

应力分量的物理意义σxx：正应力，表示垂直于作用面的力，例如拉伸应力或压缩应力1σxy：剪应力，表示平行于作用面的力，例如剪切应力2σxz、σyx、σyz、σzx、σzy：剪应力，表示在不同方向上的剪切力3

主应力与主平面主应力是材料内部存在的三种特殊应力，它们的方向相互垂直，且在主平面上没有剪应力。主应力可以表示为：σ1：最大主应力；σ2：中间主应力；σ3：最小主应力主平面是与主应力方向垂直的平面。主应力是描述材料内部应力状态的重要参数，可以用来判断材料的强度和稳定性。

应力状态分析1.确定外力作用方向和大小2.根据外力作用方向和大小计算应力分量3.利用应力张量计算主应力4.确定主平面5.分析应力状态，判断材料的强度和稳定性

应力不变量Isub1/sub第一应力不变量I1=σxx+σyy+σzzIsub2/sub第二应力不变量I2=σxxσyy+σyyσzz+σzzσxx-σxy2-σxz2-σyz2Isub3/sub第三应力不变量I3=σxxσyyσzz+2σxyσxzσyz-σxxσyz2-σyyσxz2-σzzσxy2应力不变量是应力张量的三个线性无关的组合，它们的值不随坐标系的旋转而改变。应力不变量可以用来简化应力状态的分析，并提供材料内部应力状态的整体信息。

应力圆（Mohr圆）Mohr圆是一种图形方法，用于表示材料内部的应力状态。它将应力张量的三个应力分量表示在圆形坐标系上。Mohr圆的中心坐标为(I1/2,0)，半径为√(I12/4-I2)。利用Mohr圆，我们可以直观地观察材料内部的应力状态，并计算主应力和最大剪应力等重要参数。

应变概念与应变张量应变是材料在力作用下发生的变形量，它表示物体形状和尺寸的变化。应变通常用应变张量来表示。应变张量是一个包含六个应变分量的矩阵，用来描述材料内部的应变状态。应变张量是一个二阶张量，可以表示为：[εxxεxyεxz][εyxεyyεyz][εzxεzyεzz]其中，εij表示i方向上的单位长度变化量，它是由j方向上的力引起的。

应变分量的物理意义εxx：正应变，表示垂直于作用面的长度变化量，例如拉伸应变或压缩应变1εxy：剪应变，表示平行于作用面的角度变化量，例如剪切应变2εxz、εyx、εyz、εzx、εzy：剪应变，表示在不同方向上的角度变化量3

主应变与主方向主应变是材料内部存在的三种特殊应变，它们的方向相互垂直，且在主方向上没有剪应变。主应变可以表示为：ε1：最大主应变；ε2：中间主应变；ε3：最小主应变主方向是与主应变方向垂直的平面。主应变是描述材料内部应变状态的重要参数，可以用来判断材料的变形程度和稳定性。

应变协调方程应变协调方程是一组方程，用来描述应变分量之间的关系。它们保证了应变场的连续性和可微性。对于三维应变场，应变协调方程可以表示为：?2εxx/?y2+?2εyy/?x2=2?