2025年高考数学二轮复习专题13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题（讲义）（解析版）.docx

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专题13全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题

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01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03知识梳理·方法技巧 4

04真题研析·精准预测 5

05核心精讲·题型突破 13

题型一：正四面体外接球 13

题型二：对棱相等的三棱锥外接球 17

题型三：直棱柱外接球 20

题型四：直棱锥外接球 26

题型五：正棱锥与侧棱相等模型 30

题型六：垂面模型 36

题型七：二面角模型 41

题型八：坐标法解决外接球问题 47

题型九：多面体外接球 53

题型十：锥体内切球 58

重难点突破：棱切球 63

近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。

考点要求

目标要求

考题统计

考情分析

外接球

掌握求解方法，灵活运用。

2022年乙卷第12题，5分

2022年II卷第7题，5分

2022年I卷第8题，5分

2021年甲卷第11题，5分

预测2025年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答题中，作为相对独立的部分。具体来说：

（1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。

（2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。

内切球

理解概念，熟练求解。

2020年III卷第16题，5分

棱切球

理解概念，掌握应用。

2023年I卷第1题，5分

1、补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1 图2图3图4

1．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则．

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，

设的外接圆圆心为，半径为，

则，可得，

设三棱锥的外接球球心为，连接，则，

因为，即，解得.

故答案为：2.

2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．

【答案】

【解析】设球的半径为.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径为体对角线长，即，故；

分别取侧棱的中点，显然四边形是边长为的正方形，且为正方形的对角线交点，

连接，则，当球的一个大圆恰好是四边形的外接圆，球的半径达到最小，即的最小值为.

综上，.

故答案为：

3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．

【答案】12

【解析】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图，

由题意可知，为球心，在正方体中，，

即，

则球心到的距离为，

所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.

故答案为：12

4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．

故选：A．

5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为，

则

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O