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《二次根式的除法》教案

教学目标及教学重点、难点

本节课主要了解二次根式的除法法则，会用它进行二次根式的除法运算和化简。学生类比乘法法则的得出过程，得到除法法则，并通过三道例题对法则进行正用、反用和综合运用，展开运算法则的学习和运算技能的训练。教学中重点关注对学生符号意识和运算能力的培养。

教学过程(表格描述)

教学环节

主要教学活动

设置意图

复习

引入

复习旧知，铺垫新知

知识回顾

方法回顾

解法练习

上节课最后提出的练习：.

回顾解法1：

尝试解法2：

提出问题：到底满足什么条件的二次根式才是最简二次根式？

明确学习任务.

（一）计算观察，发现规律

【活动1】创设情境，归纳法则

问题1：计算下列各式，观察计算结果，

你能发现什么规律？

（1），;

（2），;

（3），.

问题2：你能再举几个例子验证一下吗？

回忆上节的探究过程和知识方法，为本节课的学习做好准备.

发现：对二次根式的化简还有新的要求.

类比二次根式的乘法法则的研究过程，从具体例子出发，学生逐步抽象出二次根式的除法运算规律.

新知

讲解

通过计算和举例，我们发现每小题的两个式子计算结果相等；我们还可以用计算器来验证.

于是，归纳得到“二次根式的除法法则”：

一般地，二次根式的乘法法则是：

明确：利用它，可以将算术平方根的商转化成商的算术平方根，进而改变运算顺序.

引导学生从特殊到一般地归纳二次根式的除法法则,并明确法则的用途.另外，对法则的合理性同样没有给出一般的说明，也是出于考虑到学生的年龄特征和知识水平的原因.

新知

应用

（二）运用法则，加强理解

【活动2】正用法则，初步理解

利用二次根式的除法法则可以对两个无理数进行具体运算，我们来看例1.

例1：计算

（1）;

解：

（2）.

解：

总结涉及的知识点、解法程序和解法；

通过计算看到：两个无理数的商可以是一个无理数，也可以是一个有理数.

【活动3】逆用法则，深化理解

问题：将“二次根式的除法法则”从右向左看，写出你得到的等式.

于是，得到

我们把这条性质叫做“商的算术平方根性质”.

明确：利用它，可以将商的算术平方根转化成算术平方根的商.

例2.化简

（1）;（2）;

解：（1）

（2）

逆用二次根式的除法法则，即商的算术平方根性质可以对二次根式进行化简.在化简时，一般先将一个二次根式改写成两个二次根式相除的形式，再将两个二次根式中的被开方数进行因数分解，约去分子和分母的公因数.

我们把像例2中（1）的化简结果这样的二次根式成为最简二次根式，下面给出最简二次根式的概念：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

于是，我们了解了判断一个二次根式是最简二次根式的依据.

【活动4】综合运用，加强理解

问题：接下来，我们将例2.(1)做变式练习,化简例2.(1)变式

解1：（1）;

提出：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

解2：（1）.

按照“最简二次根式”的进行要求化简.

因此，我们得到二次根式运算的化简方法，是一个综合运用二次根式的除法法则和商的算术平方根性质，以及二次根式的性质的过程.

例3.计算

(1);

先将二次根式的除法法则拓展，得到：

解：

再次熟悉了解法程序，我们不妨尝试完成一道含有字母的二次根式除法运算：

(2)

解1：

解法2：

解3：

学生通过正用法则进行具体运算，初步理解二次根式的除法法则.通过问题1的第（2）小题，又可以让学生看到两个无理数相除的结果是有理数的情况，这也为后面继续学习二次根式的化简作了铺垫.

通过将法则逆用，加强对等式的理解，以及对除法法则的理解;引导学生从多角度理解结论,对于学生逆向思维的养成有帮助.

学生通过逆用法则进行二次根式的化简，加深了对二次根式的除法法则的理解，增强了灵活应用代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.另外，对于最简二次根式的概念给出明确的判断标准，为接下来的化简二次根式做好铺垫.

学生通过给出的具体实例，并结合最简二次根式的概念，掌握最简二次根式的判断标准，意识到“商的算术平方根性质”不是化简二次根是的唯一方法.对化简二次根式的方法有更深的认识，增强了灵活应用性质和代数运算法则解决问题的意识，对于提高运算能力有帮助.

学生通过灵活运用二次根式的性质和，正用或逆用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，加强了对二次根式的性质和除法法则的理解，也体会到了解决问题方法的多样性.

总结

归纳

（三）梳理关系，总结收获

问题：经历了本节课的研究过程，总结一下我们的收获.

首先，我们从具体例子入手，归纳并抽象得到二次根式