正弦定理（4个知识点6类热点题型讲练习题巩固）.docx

11．2正弦定理

课程标准

学习目标

（1）学生能证明正弦定理，能掌握正弦定理；

（2）能初步运用正弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题；

（3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索．

（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.

（2）掌握正弦定理，并能利用正弦定理解三角形、判断三角形解的个数问题．

（3）了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.

（4）理解三角形面积公式及解三角形的含义.

知识点01正弦定理

正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：

知识点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形；

（2）可以证明（为的外接圆半径）；

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一．

（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：

=1\*GB3①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；

=2\*GB3②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边．

【即学即练1】已知，，，解三角形．

【解析】因为，且，，

所以，，

而，

所以.

知识点02正弦定理在解三角形中的应用

利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；

【即学即练2】（2024·河北邯郸·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由正弦定理知：得.

故选：B

知识点03三角形面积公式

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积．

【即学即练3】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且.

(1)求；

(2)若，的周长为3，求的面积S.

【解析】（1）因为，则，

即，解得.

（2）由（1）可知：，且，可得，

由题意可知，即，

由余弦定理可得，

即，解得，

所以的面积.

知识点04仰角与俯角

与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．

【即学即练4】（2024·河南商丘·高一校联考期末）地面上一名观测工作人员，观测到一架飞机以的速度在某一高度向正东方向飞行，在观测点上第一次观测到飞机在北偏西方向，1分钟后第二次观测到飞机在北偏东方向，仰角为，则飞机的飞行高度为（结果保留根号）.

【答案】/

【解析】设点C是观测点，点A，B是飞机被观测的起止位置，点E，F是飞机在地面上的射影，

已知（km），，

设CD是正北方向，则，，，

则，.

在△CEF中，由正弦定理知，，

即，解得.

在直角三角形BFC中，.

故答案为：

题型一：已知两角及任意一边解三角形

【典例11】在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为为的内角，则，

由二倍角的余弦公式可得，解得，

由正弦定理可得，所以，.

故选：A.

【典例12】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（????）

A． B．5 C． D．

【答案】B

【解析】由于，故为锐角，故,

故

故选：B

【方法技巧与总结】

（1）正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．

（2）因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．

【变式11】在中，若，则（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由于，所以为钝角，所以，

由正弦定理得.

故选：D

【变式12】在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（???）

A． B． C． D．5

【答案】D

【解析】由，，

所以，所以，

又，

所以，所以，所以，

故，为最长的边，

由，得，

则，

所以（舍去），

由正弦定理得，所以.

即最长边的长为.

故选：D.

【变式13】记的内角的对边分别为，已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为，，

所以，

由正弦定理可得，又，

所以，

故选：A.

题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形

【典例21】在中，若，则B为（????）

A． B．或 C． D．或

【答案】B

【解析】由，又且，

所以或.

故选：B

【典例22】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a的值为（???）

A．2 B．3 C．1 D．4

【答案】C

【解析】

由正弦定理得:.

则.

又因为，所以，

所以，

在中由余弦定理得:.代入得:

.解得:或，

又因为，则.故，

故选：C.

【方法