高三新高考二轮复习切线问题研究讲义.docx

25届二轮备考下的切线问题研究

一．基本原理

1.用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：

①求出切点的坐标；

②求出函数在点处的导数

③得切线方程

求过点A处切线方程方法如下：

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线.

3.若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同（公切线），则等价于的图象在点处的切线：与的图象在点处的切线：重合.进一步等价于下列方程组有解：.

4.若动点为函数图象上任一点，直线与图象相离，则到距离的最小值为函数图象在点处的切线与平行时产生，故此时最小距离即为切点到直线的距离.

5.与切线有关的新定义问题

（1）隔离曲线：一般来说，“隔离函数”通常有两类：一类是函数与的图像在集合上有一个公共点，称之为“接触隔离”；另一类是函数与的图像在集合上没有公共点，称之为“非接触隔离”.

（2）自公切线

...

二．典例分析

★1.与切线有关的新定义问题

例1.（浙江省杭州市25届高三一模）若函数y=f(x)的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数y=f(x)的图象的“自公切线”，称这两点为函数y=f(x)的图象的一对“同切点”.

(1)判断函数f1(x)=sinx

(2)若a∈R，求证：函数g(x)=tanx?x+a在区间(?

(3)设n∈N?，函数?(x)=tanx?x+nπ在(?π2,π2)内的零点为xn，t∈(?π2,

解析：(1)显然直线y=1切y=sinx的图象于点(π2,1)，(5π2,1)，直线y=1是y=sinx的图像的一条“自公切线”，故函数f1(x)的图象存在“自公切线”;对于f2(x)=lnx，f′2(x)=1x(x0)是减函数，故f2(x)在不同点处的切线斜率不同，所以函数f2(x)的图象不存在“自公切线”.

(2)①g′(x)=1cos2x?1=sin2xcos2x=tan2x≥0恒成立，故y=g(x)在(?π2,π2)上单调递增，可得y=g(x)至多有一个零点，令g1(x)=sinx?(x?a)cosx(x∈[?π2,π2])，由y=g1(x)的图像是连续的曲线，且g1(?π2)g1(π2)=?10，所以g1(x)在(?π2,π2)上存在零点，故在(?π2,π2)上g(x)=g1(x)cosx存在零点，所以g(x)在区间(?π2,π2)上有唯一零点.

②假设g(x)的图象存在“自公切线”，即存在x1，x2∈(?π2,π2)且x1≠x2，使得g(x)的图象在x=x1与x=x2处的切线重合，函数g(x)在x=x1处的切线方程为y?tanx1+x1?a=tan2x1x?x1，函数g(x)在x=x2处的切线方程为y?tanx2+x2?a=tan2x2x?x2，

故tan2x1=tan2x2(?)，且?x1tan2x1+tanx1?x1+a=?x2tan2x2+tanx2?x2+a(??)，

由(?)可得x2

例2．若函数与在区间上恒有，则称函数为和在区间上的隔离函数.

(1)若，判断是否为和在区间上的隔离函数，并说明理由；

(2)若，且在上恒成立，求的值；

(3)若，证明：是为和在上的隔离函数的必要条件.

解析：（1）?x是和在区间上的隔离函数.因为，所以，在上单调递增，在上单调递减，又，

当时，在上取到最小值0，故.

又，所以.综上，?x是和在区间上的隔离函数.

（2）设，则，因为，则是φx的极小值点，也是最小值点，所以，即.当时，，当时，φ′x0；当时，φ′x0，所以，即恒成立（当且仅当时取等号），故.

（3）证明：设，由（2）得（当且仅当时取等号），所以

，当且仅当时取等号，设，则，所以在0,+∞上单调递增，又，

所以存在使得，即，则，

又，则，由隔离函数定义可得，所以，设，则，

又，则是的极小值点，所以，即，

结合，得，故，所以是?x为和在0,+∞上的隔离函数的必要条件.

★2.根据导数的几何意义求切线

例3．（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（???）

A． B． C． D．

解析：，则，即该切线方程为，即，

令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.

★3.过点求切线

例4．（2022年全国新高考2卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为________，___________.

解析：因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，