模块三平面向量题型专项训练答案解析.docx

模块三平面向量题型专项训练答案解析

考点01平面向量概念及线性运算

一、选择题

1．(2022新高考全国I卷·)在中，点D在边AB上，．记，则 ()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因点D在边AB上，，所以，即，

所以．故选：B．

2.(2021年高考浙江卷)已知非零向量，则“”是“”的 ()

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】:若，则，推不出；若，则必成立，故“”是“”的必要不充分条件,故选B．

3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学·)在中，D是AB边上的中点，则= ()

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】3．

二、填空题

4．(2023年天津卷·)在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为_________；若，则的最大值为_________．

【答案】①．②．

【解析】空1：因为为的中点，则，可得，

两式相加，可得到，即，则；

：因为，则，可得，

得到，即，即．于是．记，

则，

在中，根据余弦定理：，

于是，

由和基本不等式，，

故，当且仅当取得等号，则时，有最大值．

故答案：；．

5(2020北京高考)已知正方形的边长为，点满足，则_________；_________．

【答案】(1)．(2)．

【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，，

则点，，，

因此，，．故答案为：；．

6．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则；为线段上的动点，为中点，则的最小值为．

【答案】

【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.

【详解】解法一：因为，即，则，

可得，所以；

由题意可知：，

因为为线段上的动点，设，

则，

又因为为中点，则，

可得

，

又因为，可知：当时，取到最小值；

解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，

则，

可得，

因为，则，所以；

因为点在线段上，设，

且为中点，则，

可得，

则，

且，所以当时，取到最小值为；

故答案为：；.

考点02平面向量的坐标运算

1．(2023年北京卷·)已知向量满足，则 ()

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【解析】向量满足，

所以．故选：B

2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量，若，则 ()

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以，，

由可得，，

即，整理得：．故选：D．

二、填空题

3．(2023年新课标全国Ⅱ卷·)已知向量，满足，，则______．

【答案】

【解析】法一：因为，即，

则，整理得，

又因为，即，

则，所以．

法二：设，则，

由题意可得：，则，

整理得：，即故答案为：．

4(2021年高考全国乙卷·)已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】因为，所以由可得，

，解得．故答案为：．

5(2020江苏高考)在中，在边上，延长到，使得，若(为常数)，则的长度是________．

【答案】

【解析】三点共线，可设，，

，即，

若且，则三点共线，，即，

，，,,，，

设，，则，．

根据余弦定理可得，，

，，解得，的长度为．

当时，，重合，此时的长度为，

当时，，重合，此时，不合题意，舍去．故答案为：或．

考点03平面向量的数量积及夹角问题

选择题

1．（2024·全国·高考Ⅰ卷）已知向量，若，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.

【详解】因为，所以，

所以即，故，

故选：D.

2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）已知向量满足，且，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】由得，结合，得，由此即可得解.

【详解】因为，所以，即，

又因为，

所以，

从而.

故选：B.

3．（2024·全国·高考甲卷）设向量，则（????）

A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件

C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A，当时，则，

所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；

对C，当时，，故，

所以，即充分性成立，故C正确；

对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；

对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

4．（2024·北京·高考真题）设，是向量，