三角形的外心及应用讲义-高三数学二轮复习.docx

三角形的外心及其应用

一．基本原理

1．外心：三角形三条中垂线的交点.外心

外心性质：如图，为的外心，证明：

（1）.；，同理可得等.

（2）.，同理可得等.

（3）.，同理可得等.

证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明.

附：如图，直角三角形中，.

2.二次曲线背景下的外接圆问题也是很常见的圆锥曲线背景，通常情况下，我们有两种处理方式：

（1）.只告诉圆过的点，不知圆心.

此时，就需要利用外接圆圆心是中垂线的交点来计算，先算边长所在的方程，再算这条边的中垂线所在的方程，最后求出两条中垂线方程的公共解，即圆心坐标，即可解决.这种情况下，需要注意特殊的中垂线（垂直或者平行与坐标轴）.这种情况下，用两条中垂线来同构方程即可.

（2）.不仅告诉圆所过的点，还告诉了圆心的位置，或者也不知圆心位置，那么就可设出圆心坐标，利用圆的定义来完成，由于此时所过点相对于圆心的地位是等价的，所以，这类计算方法意味着可以同构运算！

二．典例分析

例1．已知是半径为2的圆的内接三角形，则下列说法正确的是（????）

A．若角，则

B．若，则

C．若，则，的夹角为

D．若，则为圆的一条直径

解析：对于A，作垂直于.垂足为，则,由正弦定理得，故,故A错误；

对于B，由得，，即,则点为的中点，即为圆的直径，故，B正确；

对于C，设，的夹角为，由得，，即，解得或，由于，故，故，则，的夹角为，C正确；

对于D,由得，

即，则为圆的一条直径，D错误，故选:BC

例2．在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（????）

A． B．6 C． D．

【详解】因为，故由得，

由正弦定理得，又，故，

因为，所以，故，所以.

因为，

所以.在中余弦定理得，，所以.所以的面积为.故选：D.

例3．若是的外心，且，则的最大值是（????）

A． B． C． D．2

【详解】如图所示：

??

设，，，，由，

得，化简得，由是的外心可知，是三边中垂线交点，得，代入上式得

，所以，根据题意知，是三角形外接圆的半径，可得，.所以，

由柯西不等式可得：，所以，所以，

所以，当且仅当“”时，等号成立.所以的最大值为.故选：C.

例4．已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为___________.

【详解】设点，则）根据点是的外心,，

而，则,所以,从而得到点的轨迹为，焦点为F1,0,由抛物线的定义可知，因为，，即，当点P在线段BF上时等号成立.

所以的最小值为3，故答案为：3

例5．已知点分别为双曲线的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点恰好为的外心，若，则C的离心率为________.

【详解】取的中点为C，连接BC、、，如图所示：

??

因为，所以，又C为的中点，所以为等腰三角形且，因为点恰好为的外心，所以点在直线BC上，且，由双曲线的定义知，则，

所以为等边三角形，则，在中，即，化简得，同时除以可得，解得或(舍去).故答案为：

例6.（2025届高三T8联考）已知过两点的动抛物线的准线始终与圆

相切,该抛物线焦点的轨迹是某圆雉曲线的一部分.

（1）求曲线的标准方程;

（2）已知点,过点的动直线与曲线交于M,N两点,设的外心为Q,O坐标原点,问:直线OQ与直线MN的斜率之积是否为定值,如果是定值,求出该定值;如果不是定值,说明理由.

解析：（1）

（2）★算法1.求中垂线同构

设直线,代入椭圆方程可得

设,

则，的中点坐标为,则的垂直平分线的斜率为∴的垂直平分线方程为

.，即，由得

,∴的垂直平分线方程为.同理的垂直平分线方程为.设点,则是方程,

即的两根,∴两式相除得.即直线与的斜率之积为.

★方法2.设圆心同构

设圆心，则由，整理过程中，代入直线与椭圆方程可化简得：

，同理可得：

故，另一方面，由韦达定理可得：

，故而解得：，故，

即直线与的斜率之积为.

例7.已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，周长为，一双曲线的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

（2）是双曲线上不同的三点，且两点关于轴对称，的外接圆经过原点.求证：直线与圆相切.

解析：（1）根据题意得，又，解得，

，所以椭圆的方程为，将代入圆的方程，

椭圆的焦点坐标为，长轴上两个顶点坐标为，依题意，设双曲线，则，解得，所以双曲线的方程是，即.

（2）证明：易知直线一定不为水平直线，设为，设，

联立，整理得，则，

由于外接圆过原点且关于轴对称，设为，将代入圆的方程得，消去得，又，，

，化简得，，，

由，则原点到直线的距离，即直线与圆相切.

三．习题演练

1．已知的外心为，内角的对边分别为，且．若，则（????）

A． B．50 C．25 D．

【详解】由已知，令，所以是等腰三角形．由余弦定理，