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八年级下学期数学练习题及答案

16．（3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，点E是BC边的中点，连接AE，△AB′

E和△ABE关于AE所在直线对称，若△B′CD是直角三角形，则BC边的长为4或2

．

【分析】连接BB′，根据直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜

90°，（1）如图1，∠B′DC＝90°，（2）如图2，∠CB′D＝90°，则B，B′D三点

共线，设AE，BB′交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：连接BB′，

∵BE＝B′E＝EC，

∴∠BB′C＝90°，

∴∠B′CD＜90°，

（1）如图1，∠B′DC＝90°，

则四边形ABEB′和ECDB′是正方形，

∴BC＝2AB＝4，

（2）如图2，∠CB′D＝90°，

则B，B′，D三点共线，

设AE，BB′交于F，

∵AB＝AB′，EB＝EB′，

∴AE垂直平分BB′，

∴BF＝B′F，

∵∠AFB＝∠DB′C＝90°，

∵∠BAF＝∠ABF＝∠ABF+∠EBF＝90°，

∴∠BAF＝∠EBF，同理∠EBF＝∠DCB′，

∴∠BAF＝∠DCB′，

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∵AB＝CD，

∴△ABF≌△CDB′，

∴BF＝D′D，

∴F，B′是对角线BD的三等分点，

∵△BCB′∽△CDB′，

∴＝＝，

∴＝，

∴BC＝CD＝2，

故答案为：4或2．

【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形30度角的判

定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压

轴题．

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