第七章计数原理（知识归纳题型突破）（17题型清单）.docx

第七章计数原理（17题型清单）

01思维导图

01思维导图

02

02知识速记

知识点01：分类加法计数原理

（1）定义：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：如果完成一件事情有类不同方案,在第1类方案中有种不同的方法,在第2类方案中有种不同的方法,……在第类方案中有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

知识点02：分步乘法计数原理

（1）定义：完成一件事需要两个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.

（2）推广：完成一件事需要个步骤,做第1步有种不同的方法,做第2步有种不同的方法,……做第步有种不同的方法,则完成这件事共有种不同的方法.

知识点03：排列

（1）定义：一般地,从个不同元素中取出()个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.

（2）相同排列：两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.

知识点04：排列数与排列数公式

（1）定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同排列的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的排列数,用符号表示.

（2）排列数公式

①（连乘形式）：，，

②（阶乘形式），，

（3）全排列：把个不同的元素全部取出的一个排列,叫做个元素的一个全排列,用符号表示.

（4）阶乘：正整数1到的连乘积,叫做的阶乘,用符号表示.

知识点05：组合

（1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.

（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.

（3）组合与排列的异同

相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”.

不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.

知识点06：组合数与组合数公式

（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.

（2）组合数公式

或：（，）.

规定：

知识点07：组合数的性质

（1）性质1：

（2）性质2：

知识点08：知识链接

（1）

（2）

知识点09：二项式定理及相关概念

（1）二项式定理

一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.

（2）二项展开式

公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.

（3）二项式系数与项的系数

二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.

（4）二项式定理的三种常见变形

①

②

③

知识点10：二项展开式的通项

二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.

知识点11：二项式系数的性质

①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：

②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；

③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.

④各二项式系数和：；

奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：

03

03题型归纳

题型一两个计数原理综合

例题1：（2324高二上·江西九江·期末）从1，2，3，4，5，6，7，9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值有（????）

A．30个 B．42个 C．41个 D．39个

【答案】D

【知识点】代数中的计数问题、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用

【分析】分是否取两类，当不取时，排除重复的即可得解.

【详解】当取时，则只能为真数，此时这个对数值为，

当不取时，底数有种，真数有种，

其中，

故此时有个，

所以共有个.

故选：D.

例题2：（2324高二下·江苏苏州·期末）若，则符合条件的有序集合对的个数为（????）

A．81 B．90 C．108 D．114

【答案】A

【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、组合数的计算、分类加法计数原理

【分析】根据满足条件的集合可看成由的子集与的并集，然后分类计算即可.

【详解】当时，满足条件的有序集合对有1个；

当为单元集合时，例如，

则满足条件的集合可看成由的子集与集合