新高考数学一轮复习讲与练4.3 利用导数求极值最值（精讲）（提升版）（解析版）.docVIP

4.3利用导数求极值最值（精讲）（提升版）

思维导图

思维导图

考点呈现

考点呈现

例题剖析

例题剖析

考点一无参函数的极值（点）

【例1】（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学）函数在区间上的极小值点是（???????）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【解析】由题设，所以在上，递减，在上，递增，

所以极小值点为.故选：B

【一隅三反】

1．（2022·天津·耀华中学）已知曲线在点处的切线斜率为3，且是的极值点，则函数的另一个极值点为（???????）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【解析】，由题意有，解得，所以，令，解得或，所以函数的另一个极值点为．

故选：A．

2．（2022·天津·崇化中学）函数有（???????）

A．极大值为5，无极小值 B．极小值为，无极大值

C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为

【答案】A

【解析】,

由，得，由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在时，取得极大值，无极小值.故选：A

3．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（???????）

A．是的最小值点B．是的极大值点

C．是的极大值点D．是的极大值点

【答案】BD

【解析】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；

对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；

对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；

对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.

故选：BD.

考点二已知极值（点）求参数

【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数，导函数.

因为在上既有极大值又有极小值，所以在内应有两个不同的异号实数根．

，解得：，实数a的取值范围.故选：C．

【例2-2】（2022·陕西）已知函数，若是的极小值点，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由得，令，

若，则，此时在单调递增，在单调递减，这与是的极小值点矛盾，故舍去.

若，可知是的极大值点，故不符合题意.

若，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极大值点，故不符合题意.

当，，，此时在单调递增，在单调递减，可知是的极小值点，符合题意.

若，在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.

综上可知：故选：B

【一隅三反】

1．（2022·广东·惠来县第一中学）若函数在处有极值，则（???????）

A． B．

C． D．a不存在

【答案】B

【解析】因为函数，故

又函数在处有极值，故，解得.经检验满足题意故选：B.

2．（2022·河南）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，令，

因为函数有两个极值点，

所以有两个不同的解，且在零点的两侧符号异号.

，

当时，，在上单调递增，故不可能有两个零点.

当时，时，，在上单调递增；

时，，在上单调递减，

所以，即，.

当时，，故在上有一个零点；

当时，，

所以在上有一个零点，综上，，故选：D.

3．（2022·江西鹰潭）已知函数的极大值点，极小值点，则的取值范围是（??????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

又因为当时取得极大值，当时取得极小值，可得、是方程的两个根，根据一元二次方程根的分布可得

即：作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可求出边界交点坐标分别为、、，表示平面区域内的点与点连线的斜率，由图可知，根据倾斜角的变化，可得

故选:B

4．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数在上有且仅有6个极值点，则正整数的值为（???????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】设，则当时，

由在上有且仅有6个极值点，则在上有且仅有6个极值点.

如图由正弦函数的图像性质可得

解得，所以正整数的值为3

故选：B

考点三无参函数的最值

【例3】（2022·全国·高考真题（文））函数在区间的最小值、最大值分别为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

所以在区间和上，即单调递增；

在区间上，即单调递减，

又，，，

所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D

【一隅三反】

1．（2022·海南华侨中学）已知函数，下列说法正确的是（???????）

A．函数在上递增 B．函数无极小值

C．函数只有一个极大值 D．函数在上最大值为3

【答案】C

【解析】因为定