《非齐次线性微分方程与两类欧拉方程的解法研究》4400字.doc

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非齐次线性微分方程与两类欧拉方程的解法研究

摘要

线性微分方程是常微分方程学中比较重要的一部分，而齐次线性微分方程比较简单，解法也比较固定，因此，对常系数非齐线性微分方程的解法的研究有利于研究其他更复杂的常微分方程。求解一般的常系数非齐次线性微分方程的方法主要有常数变易法、比较系数法和拉普拉斯变换法等。这类微分方程和方法在大学课本上已经给出了详细的介绍和证明，并且有应用和举例。在这个基础上本篇文章给出具有非齐次项的常系数非齐次线性微分方程的解法和应用举例。非线性微分方程在在现代化社会中应用于军事和生物的领域上，具有广泛的发展前景。由于实际问题的多样性和特殊性，研究不同类型的方程是十分重要的。因此还讨论了有固定形式的常系数非线性微分方程的解法。

除了常系数方程，在研究生物科学，力学等方面时，常常用到变系数微分方程，变系数线性微分方程的求解相对较难。欧拉方程作为变系数方程中应用最为广泛的类型，也需要对其解法进行进一步的探讨和研究。本文提出了一种新的方法来求解欧拉方程。首先利用换元法将欧拉方程转化为常系数非齐次线性微分方程，再利用该方程齐次方程的特征多项式、特征方程和特征根，求得对应常系数非齐次线性微分方程的特解，得到了方程特解存在的一个充要条件，并进行举例。

关键词：常系数非齐次线性微分方程解法欧拉方程特殊解法

目录

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22043摘要 I

19998一绪论 1

26133二非齐次线性微分方程的一般解法 2

97422.1引言 2

20087三非齐次线性微分方程的解法 4

236693.1n阶常系数非齐次线性微分方程的解法 4

72303.2欧拉方程的解法 5

106623.3应用 8

28068四欧拉方程的特殊解法 10

100894.1新求法 10

201684.2应用 11

26833五总结 13

32691参考文献 14

一绪论

现代社会中，方程的运用越来越广泛。在基础的数学中早就学过有关于微分和导数的知识。后来在大学数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如果有自变量、未知函数和函数的导数或是微分构成的关系式就是微分方程。在大学课程的学习中，重点学习了常微分方程即自变量只有一个的微分方程的相关内容。

在大学的课程中我们已经学习了一些定理。比如：非齐次方程的通解的求法。非为两步，先求相应的齐次方程的通解，再求非齐次方程的特解，则非齐次微分方程通解就为这两个解相加。求齐次方程的特解时，要分为具体的情况进行讨论。当齐次方程的系数是常数时，此时可以直接求一代数方程的根;当系数是变数时，要区分不同的情况进行讨论[1]。二阶变系数微分方程可以用幂级数解法，但是运算量往往较大；当该方程为欧拉方程时，欧拉方程的解法在本文中就有讨论。

形如的方程称为欧拉方程。欧拉方程的应用十分广泛，在诸多文献中都对欧拉方程的解法做出了探索和研究，在已有的参考文献中，有关于二阶变系数线性微分方程何时可以转变为欧拉方程，还有对齐次欧拉方程的通解的研究。值得我去学习和借鉴。在阅读文献的基础上思考了欧拉方程的一种解法。有利于在研究时开拓思路，激发创新意识。

二非齐次线性微分方程的一般解法

2.1引言

对于常系数非齐次线性微分方程

,（1）

这里的是常数，而为连续函数。

方程（1）对应的齐次方程为

,（2）

其特征方程为

,（3）

特征函数为

.

根据已学的知识我们可以特征根法求出该方程的齐次线性微分方程的基本解组，再应用常数变易法，求得方程（1）的一个特解，这样再根据定理1即可写出方程（1）的通解表达式[1]。

定理1考虑阶非齐次线性微分方程

,（4）

,（5）

而是方程（4）对应的特征方程的某一解，为方程（5）的基本解组，那么特征方程（4）的通解为

.（6）

其中为任意常数。

再利用初值条件确定同解中的任意常数，这样就可以得到满足初值条件的解。这种方法的确可以实行但是过程较为繁琐，且必须经过积分运算。因此经过研究，当满足某些特殊形状时就可以用特殊的方法进行求解。在常微分方程的课本中给出了几种基本的形式和求解过程，这里作简单介绍。当

,

其中以及为实常数，通过比较系数法可以得到方程（1）有形如

,（7）

的特解，其中为特征方程的根的重根。（当特征方程为单根时，;如果不是特征根时，那么这个时候=0），最后，我们用比较系数的方法来确定这样的待定系数。

当

，

这样的形式时，这里的