《例析正态分布的应用研究》6200字.docx

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例析正态分布的应用研究

目录

TOC\o1-2\h\z\u第1章引言 1

第2章正态分布的基本理论 1

2.1正态分布的定义 1

2.2正态分布的图形与图形特征 2

第3章正态分布的应用 4

3.1求概率值的应用 4

3.2关于正态分布在实际生活中的应用 6

3.3基于高考下的正态分布的变式应用 8

结论 12

参考文献 13

第1章引言

在概率论中正态分布是最重要的一种概率分布，又常常被称作为常态分布，早在十七世纪三十年代时，德国的天文学家和数学家Moivre在求解二项分布的渐进公式时首次提出了正态分布的概念，在后来，数学家Gauss率先将正态分布应用于天文学的研究中，故正态分布又有“高斯分布”之称，并且Gauss与法国概率论学家Laplace研究了正态分布的性质，这项工作对后世的影响极大[1]，对此做出了很多重要的贡献。

正态分布不仅仅在数学中有很重要的地位，并且在生活中也有很广泛的应用．在当今社会，科学实验或者生产生活中很多随机变量的分布都可以近似的通过正态分布来描述．比如，在农学中，观察分析同一种植物的身长、体重以及含水量等指标，通过建立正态分布模型来得出最适合该植物生长的温度、水量、阳光等条件，以便于农户更好地种植此种植物，从而达到收益最大化．在医学中，通过观察分析同种群体的身高、血红蛋白量、红细胞数等，建立正态分布模型来得出群体在健康水平下的数据区间，以便于医生在看诊中更直观的判断出该患者的某一指标是否处于健康水平．

近年来，正态分布受到了国内外广泛关注，相关专业人员对关于正态分布在高考中的应用进行了更进一步地调查研究，明确了正态分布在未来高考中热点趋势．对此，下面来探讨正态分布在高考中的应用，以便于高三考生们能够更有针对性，更全面的掌握复习正态分布．

第2章正态分布的基本理论

2.1正态分布的定义

定义2.1若连续型随机变量的概率密度为：

，

其中实数为正态分布概率密度函数的位置参数，为正态分布概率密度函数的形状参数．的图像曲线就为正态分布密度曲线，简称正态曲线[2]．

定义2.2对于任意，随机变量满足

，

则称随机变量服从正态分布．

定义2.3在正态分布中，当，时，此时的正态分布称为标准正态分布

.

正态分布由和决定，通常记作，若随机变量服从正态分布，则记作[3]．

2.2正态分布的图形与图形特征

图2.1正态分布概率密度曲线

根据图形，我们可以直观的看出，曲线向上凸，形成钟形，并且关于两边是对称的，最大值可以取到；图形都处于第一、第二象限，与轴不相交，并且曲线与轴围成的面积为固定值1.

在正态分布中，存在两个参数和，当某个参数发生变化时，曲线也会随之发生变化.比如：当一定时，曲线的形状不会发生变化，但曲线的位置会随着的变化而变化，当变小时，曲线向左移动，当变大时，曲线向右移动；当一定时，曲线的位置不会发生变化，但曲线的形状会随着的变化而变化，越小，曲线上的点的分布越集中，形状显得越“瘦高”，越大，曲线上的点的分布越分散，形状显得越“矮胖”.

图2.2两种参数不同情况下的正态分布概率密度曲线

定理2.1原则[4,5]：若，则，，

，

当和一定时，曲线和轴围成的面积与的增减成反比，即减少时，它的面积就随着减少，要使落在区间的概率大，就使减小，即越小，集中在周围概率越大.

因此有

，

，

落在以外的概率小于，在实际生活中基本可以把区间看作是随机变量可能取值的空间．

第3章正态分布的应用

3.1求概率值的应用

正态分布在概率中占有十分重要的地位，在近几年的高考中，正态分布在概率中考查的比重较大，下面选了几道较为典型的例题来重点说明一下高考对正态分布考查的侧重点．

例3.1(2007年全国二卷第14题)在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为：

分析：本道题较为基础，由题意可知道，根据图形特征第二条可以知道在和的概率是相等的，本题要求在的概率，就可以转化为在的概率加上在的概率，也就是两倍的在的概率．

解：

，

，

=0.8．

例3.2（2015年湖南数学卷，选择7）如图3.1,在单位正方形中随机投掷了个点，曲线为正态分布的密度曲线，求估计落入阴影部分的点的个数（）[6]．

图3.1投掷点的分布情况

附：若,则，

．

A．2386B．2718C．3413D．4772

分析：落入阴影部分点的个数等同于求阴影部分的面积，由题意可以知道，，题目里的附带信息给出了，也就是，在和上的概率是相等的，所以在上的概率就等于在上概率的一半．