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2011高考数学备考之放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求的值;(2)求证:.
解析:(1)因为,所以
(2)因为,所以
奇巧积累:(1)(2)
(3)
(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)
(10)(11)
(11)
(12)
(13)
(14)(15)
(15)
例2.(1)求证:
(2)求证:(3)求证:
(4)求证：
解析:(1)因为,所以
(2)
(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案
(4)首先,所以容易经过裂项得到
再证而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以
例3.求证:
解析:一方面:因为,所以
另一方面:
当时,,当时,,
当时,,
所以综上有
例4.(2008年全国一卷)设函数.数列满足..
设，整数.证明:.
解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,
故假设存在正整数,使,那么,
假设,那么由知,,
因为,于是
例5.,求证:.
解析:首先可以证明:
所以要证
只要证:
故只要证,
即等价于,
即等价于而正是成立的,所以原命题成立.
例6.,,求证:.
解析:
所以
从而
例7.,,求证:
证明:,
因为,所以
所以
二、函数放缩
例8.求证：.
解析:先构造函数有,从而
cause
所以
例9.求证:(1)
解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案
函数构造形式:,
例10.求证:
解析:提示:
函数构造形式:
当然此题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数,
首先:,从而,
取有,,
所以有,,…,,,相加后可以得到:
另一方面,从而有
取有,,
所以有,所以综上有
例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明
例12.求证:解析:,叠加之后就可以得到答案
函数构造形式:(加强命题)
例13.证明:
解析:构造函数,求导,可以得到:
,令有,令有,
所以,所以,令有,
所以,所以
例14.证明.
解析:,
然后两边取自然对数,可以得到
然后运用和裂项可以得到答案)
放缩思路：
。于是，
即
注：题目所给条件〔〕为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，此题还可用结论来放缩：
，
即
例16.(2008年福州市质检)函数假设
解析:设函数
∴函数〕上单调递增，在上单调递减.∴的最小值为，即总有
而
即
令那么
例15.(2008年厦门市质检)函数是在上处处可导的函数,假设在上恒成立.
(=1\*ROMANI)求证：函数上是增函数；(=2\*ROMANII)当；
(=3\*ROMANIII)不等式时恒成立，
求证：
解析:(=1\*ROMANI),所以函数上是增函数
(=2\*ROMANII)因为上是增函数,所以
两式相加后可以得到
(3)
……
相加后可以得到:
所以
令,有
所以
(方法二)
所以
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