2025年中考数学二轮专题复习 等腰三角形的存在性问题专题练习 （含解析）.docxVIP

等腰三角形的存在性问题

1.如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果△APQ是等腰三角形，求点P的坐标.

2.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,DE=4.动线段DE(端点D从点B开始)沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，联结DF，设运动的时间为t秒(t≥0).

(1)直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的值；

(2)在这个运动过程中，∠DEF能否为等腰三角形?若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

3如图,已知四边形ABCD是矩形,AB=16,BC=12.点E在射线BC上,点F在线段BD上,且∠DEF=∠ADB.设BE=x,当△DEF为等腰三角形时,求x的值.

4如图，在等腰直角三角形BCE中，斜边.BC=42

5如图1，已知边长为2的正方形ABCD中，AC为对角线，点E在线段AC上(点E与点A、C不重合),过点E作EF⊥BC,垂足为点F,联结ED和DF.

(1)说明△EFD与△EFC的面积相等;

(2)设AE=x,S△EDF=y(S△EDF表示△EDF的面积)，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)当△EDC为等腰三角形时,求线段AE的长.

6如图1,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,P是下底BC上一动点(点P与点B不重合),AB=AD=10,BC=24,∠C=45°,45°∠B90°.设BP=x,四边形APCD的面积为y.

(1)求y关于x函数解析式，并写出它的定义域；

(2)联结PD，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，求四边形APCD的面积.

7如图1，在平面直角坐标系中，过点.A?30的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程

(1)求直线AC与直线AB的函数解析式；

(2)求证:直线AC与直线AB互相垂直;

(3)若点D在直线AC上,且DB=DC,则直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

8如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,BC=10,对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD.设AD=x,△AOB的面积为y.

(1)求∠DBC的度数;

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)如图2,设点P、点Q分别是边BC、AB的中点,分别联结OP、OQ、PQ.如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长.

9如图1,在矩形ABCD中,AB=1,对角线AC、BD相交于点O,过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F,联结CE、AF.

(1)如图,求证:四边形AFCE是菱形;

(2)当点E、F分别在边AD和BC上时,如果设AD=x,菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)如果△ODE是等腰三角形,求AD的长度.

10如图1，在边长为2的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一个动点(与A、C不重合)，过点P作PE⊥PB,PE交射线DC于点E,过点E作EF垂直直线AC,垂足为点F.

(1)当点E在线段CD上时(如图1),求证:PB=PE;

(2)当点E在线段CD上时，在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化?若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；

(3)在点P的运动过程中，△PEC是否能成为等腰三角形?如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.

1.满分解答

由y=2x+2得,A(-1,0),B(0,2).所以OA=1,OB=2.

如图,由△AOB∽△QOP得,OP:OQ=OB:OA=2:1.

设点Q的坐标为(0,m),那么点P的坐标为(2m,0).

因此AP2=2m+1

①当AP=AQ时,AP2=AQ2,解方程2m+12=m2+1,得m=0或m=?

②当PA=PQ时,PA2=PQ2,解方程(2m+12=5m2,得m=2±5.

③当QA=QP时,QA2=QP2,解方程m2+1=5m2,得m=±1

2.满分解答

1

(2)△DEF中,∠DEF=∠C是确定的.

①如图1,当DE=DF时,DEAB=EFBC,即

②如图2,当ED=EF时,4=58t+4

③如图3,当FD=FE时,FEDE=AC

(3)MN是△FDE的中位线,MN∥DE,MN=