解答题专题突破一元函数的导数及其应用(学生版).docx

解答题专题突破：一元函数的导数及其应用

题型一、利用导数研究函数的单调性

1.已知函数.

（1）若，求函数的极值；

（2）讨论函数的单调性.

2．已知函数，．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围．

解法指导:

1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

2、求函数单调区间的步骤:

(1)确定函数的定义域；

(2)求(通分合并、因式分解)；

(3)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；

(4)解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．

3、含参函数单调性讨论依据：

(1)导函数有无零点讨论(或零点有无意义)；

(2)导函数的零点在不在定义域或区间内；

(3)导函数多个零点时大小的讨论。

题型二、利用导数研究函数的极值

1.已知函数，其中．

（1）当时，求曲线在处切线方程；

（2）判断函数是否存在极小值，若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由；

（3）当时，恒成立，求实数的值．

已知，其中．

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）求的极值点；

（3）若在上的最大值是，求的取值范围．

3.已知函数.

（1）当时，求曲线在处切线的方程；

（2）当时，试判断零点的个数，并说明理由；

（3）是否存在实数，使是的极大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.

4.已知函数.

（1）设，求曲线的斜率为2的切线方程；

（2）若是的极小值点，求的取值范围.

5.已知函数.

（1）若，求的最小值；

（2）若存在极小值，求的取值范围.

6.已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）当时，判断函数在区间上的单调性；

（2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；

（3）求证：当时，.

7.已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在其定义域内不存在极值，求实数的值.

8.已知函数，.

（1）若是奇函数，求在点处的切线方程；

（2）若有且只有一个极值点，求的取值范围.

9.已知函数.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）已知有两个极值点.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）若的极小值小于，求的极大值的取值范围.

10.已知函数，为自然对数的底数.

（1）若，求实数的值；

（2）当时，试求单调区间；

（3）若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围.

解法指导:

1、利用导数求函数极值的方法步骤:

(1)求导数；

(2)求方程的所有实数根；

(3)观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．

①如果的符号由正变负，则是极大值；

②如果由负变正，则是极小值；

③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．

2.根据函数的极值(点)求参数的两个要领：

①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；

②验证:求解后验证根的合理性.

题型三、利用导数研究函数的最值

1．已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若，求函数在上的最值.

2.已知函数．

（1）讨论在区间上的单调性；

（2）求的最大值和最小值；

（3）设，证明：．

3.已知，其中．

（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；

（2）求的极值点；

（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．

解法指导:

函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：

(1)求函数在区间上的极值；

(2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；

(3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。

题型四、利用导数解决恒成立与能成立

1.已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求实数的取值范围．

2.设函数，.

（1）求方程的实数解；

（2）若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.

3.设函数

（1）分析的单调性和极值；

（2）设，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；

4.已知函数，．

（1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间；

（2）若，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．

5.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的取值范围.

6.已知为函数的极值点．

（1）求的值；

（2）设函数，若对，使得，求的取值范围．

7.已知函数.

（1）求的单调区间;

（2）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

解法指导:

对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒