第4节　数列求和.pptxVIP

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DESIGN;1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.

2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.;知识诊断自测;1;2.数列求和的几种常用方法

(1)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.

(2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法

如果一个数列{an}中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.;;;; ;;1;;(2)若a1＝1，数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，求数列{anbn}的前15项和S15.;;训练1已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋4，数列{bn}的首项为b1＝2.

(1)若{bn}是公差为3的等差数列，求证：{abn}也是等差数列.;(2)若{abn}是公比为2的等比数列，求数列{bn}的前n项和.;;;训练2设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)·an＝2n.

求：(1){an}的通项公式；;;考点三错位相减法求和;[规范解答]解(1)当n＝1时，2S1＝a1，

即2a1＝a1，所以a1＝0.

当n≥2时，由2Sn＝nan，

得2Sn－1＝(n－1)an－1，;;;[满分规则]

?得步骤分

①处利用an＝Sn－Sn－1消去Sn即可得2分，④处有错位相减求和的意识，即使后续计算错误，也可得2分，③处若忘验证，则会失掉1分.

?得关键分

②处的变形最关键，是求通项公式的根本，此处出错，最多得2分.

?得计算分

⑤⑥处都需要准确的计算，否则此步不得分，这也正是错位相减法的难点所在.;;(2)若数列{bn}满足bn＝a2n，求数列{bn}的前n项和.;1;;2.数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，数列{log2an}的前n项和为Tn，则T20＝()

A.190 B.192 C.180 D.182;;;令T＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2024)，

则T＝f(a2024)＋f(a2023)＋…＋f(a1)，

∴2T＝f(a1)＋f(a2024)＋f(a2)＋f(a2023)＋…＋f(a2024)＋f(a1)＝4×2024，

∴T＝4048.;;;;;n＋1;9.(2024·广州调研)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1009(n∈N*)，则其前2025项之和S2025＝________.;10.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋1·an＋2＝an＋an＋1＋an＋2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2025???________.;;;;;;;14.(多选)(2024·太原模拟)1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪后，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记Sn为该数列的前n项和，则下列结论正确的是()

A.a11＝89

B.a2023为偶数

C.a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a2024

D.a2＋a4＋a6＋…＋a2024＝S2023;解析对于A，由题意知a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，a7＝13，a8＝21，a9＝a7＋a8＝13＋21＝34，a10＝a8＋a9＝21＋34＝55，a11＝a9＋a10＝34＋55＝89，故A正确；

对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组，而2023＝3×674＋1，故a2023为奇数，故B错误；

对于C，由题意知an－1＋an＝an＋1(n≥2)，

所以an＝an＋1－an－1(n≥2)，

a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝a1＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…＋(a2024－a2023)＝a1＋a2024－a2＝a2024，故C正确；

对于D，a2＋a4＋a6＋…＋a2024＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2022＋a2023)＝S2023，故D正确.;;;;解由(1)，知anbn＝n×2n，

则Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，①

2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②

①－②，得－Sn