等比数列的概念.docx

专题4.3.1等差数列的概念

【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式..................................................】

【题型二：等比数列通项公式的基本量计算..........................................................】

【题型三：由递推关系证明数列是等比数列..........................................................】

【题型四：等比中项及其应用..................................................................................】

【题型五：等比数列的下标性质..............................................................................】

【题型六：等比数列的单调性与最值......................................................................】

1．等比数列的概念

文字

语言

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

符号

语言

在数列{an}中，如果（或）(q≠0)成立，则称数列{an}为等比数列，常数q称为等比数列的公比

递推

关系

或

2．等比中项

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab.

3．等比数列的通项公式

若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是.

4．证明数列是等比数列的主要方法：

(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝q（常数）{an}为等比数列；

(2)中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2{an}为等比数列；

(3)通项公式法：an＝k·qn（k，q为常数）{an}为等比数列；

5.等比数列的下标性质：

若m,n,p,q∈

6．等比数列的单调性

已知等比数列{an}的首项为，公比为q，则

(1)当或时，等比数列{an}为递增数列；

(2)当或时，等比数列{an}为递减数列；

(3)当q=1时，等比数列{}为常数列(这个常数列中各项均不等于0)；

(4)当q0时，等比数列{}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶

数项异号).

【题型一：根据“定义”求等比数列的通项公式（这里只体现构造法中常考的两个）】

【思路总结】

类型一：a

方法过程：

设an+1+x=p(

对比an+1=pan+q与

所以数列an+

所以an+qp?1

类型二：an+1=p

方法过程：

等式两边同时除以q

设bn=a

类型三：S

【例题】

1.（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，若，则．

【详解】令，得，所以；

令，则，

两式相减得，，即，

所以，

因为，所以，所以为常数，

故数列是首项为，公比为2的等比数列，

所以.

故答案为：.

2.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，且，则通项公式．

【详解】递推式的两边同时除以，得到．

令，则．

显然有，，

故是以为首项，为公比的等比数列．

因此，可得．

故答案为：.

3.（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，，则通项公式．

【详解】对递推式的两边同时取倒数，得，即，

因此，，故是以2为首项，2为公比的等比数列，

于是，可得．

故答案为：.

【相似练习】

1.（2425高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为．

【详解】由，，，可得，

所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以，

则，；

故答案为：.

2.（2425高三上·重庆长寿·期末）已知数列满足，则．

【详解】因为数列满足，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以.

故答案为：

3.（2425高二·江苏·假期作业）已知等比数列的前项和为，且.求的通项公式；

【详解】在等比数列中，，当时，，

则，即，因此等比数列的公比为，

而，解得，

所以的通项公式是.

【题型二：等比数列通项公式的基本量计算】

【例题】

1．（浙江省金华十年高二上学期期末联考数学试题）在等比数列中，，则公比（????）

A． B． C．3 D．13

【详解】，

∴，

故选：C.

2．（2425高二上·黑龙江绥化·期末）在等比数列中，，，则等于（???）

A．或