第6节　向量法求空间角.pptxVIP

第七章立体几何与空间向量

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第6节向量法求空间角

1.掌握空间向量的应用.

2.会用空间向量求空间角.

CONTENTS

知识诊断自测

考点聚焦突破

课时分层精练

壹

贰

目录

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ZHISHIZHENDUANZICE

知识诊断自测

第一章

1.两条异面直线所成的角

设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则

cosθ＝|cos〈u，v〉|＝______＝______.

2.直线和平面所成的角

直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向

向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝______＝______.

3.平面与平面的夹角

(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.

(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则

cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______＝_______.

常用结论与微点提醒

×

×

×

√

解析(1)两直线的方向向量所成的角是两条直线所成的角或其补角；

(2)直线的方向向量u，平面的法向量n，直线与平面所成的角为θ，则sinθ＝|cosu，n|；

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角或其补角.

A

解析建系如图，设BC＝CA＝CC1＝2，

则B(0，2，0)，D1(1，1，2)，A(2，0，0)，F1(1，0，2)，

3.(选修一P43T10改编)设M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，则直线MN与平面A′BCD′所成角的正弦值为________.

解析建系如图，设AB＝2，

则M(2，2，1)，N(1，2，2)，B(2，2，0)，A′(2，0，2)，C(0，2，0)，

4.在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝________.

解析平面Oxy的一个法向量为n＝(0，0，1)，

设平面α的一个法向量为u＝(x，y，z)，

取平面中两个向量(－3，4，0)与(－3，0，a)，

KAODIANJUJIAOTUPO

考点聚焦突破

第二章

考点一异面直线所成的角

解析连接O1O2，过点E作EE1∥O1O2，交下底面于点E1，连接O2E1，

以O2为坐标原点，在下底面中，过点O2作AB的垂线为x轴，分别以O2B，O2O1所在的直线为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则由已知可得A(0，－1，0)，D(0，－1，2)，F(0，1，1)，

解析以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略).

正方体的棱长为2，则A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).

感悟提升

训练1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝8，E，F，G分别为B1C1，A1B1，BB1的中点，则异面直线A1E与FG所成角的余弦值为()

A

解析如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

考点二直线与平面所成的角

例2(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝2，A1到平面BCC1B1的距离为1.

(1)证明：A1C＝AC；

证明由A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得A1C⊥BC.

又因为BC⊥AC，且AC∩A1C＝C，AC，A1C⊂平面ACC1A1，

所以BC⊥平面ACC1A1，且BC⊂平面BCC1B1，

所以平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.

如图1，过A1作A1H⊥CC1，垂足为H，

图1

(2)已知AA1与BB1的距离为2，求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

解连接B1C.过C作CQ⊥AA1，垂足为Q，连接BQ.

由(1)知BC⊥平面ACC1A1，

又AA1⊂平面ACC1A1，∴BC⊥AA1.

又CQ∩BC＝C，CQ，BC⊂平面BCQ，

∴AA1⊥平面BCQ.

∵BQ⊂平面BCQ，∴AA1⊥BQ，

又∵AA1∥BB1，∴BB1⊥BQ，

∴BQ的长为直线AA1与BB1之间的距离，即BQ＝2.

∴以直线CA，CB，CA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图2所示，

图2

取x＝1，则y＝0，z＝1，

∴平面BCC1B1的一个法向量为n＝(1，0，1).

设AB1与平面BCC1B1所成角为θ，

感悟提升

向量法求直线与平面所成角的方法