第7节　向量法求距离、探索性及折叠问题.pptxVIP

第七章立体几何与空间向量

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第7节向量法求距离、探索性及折叠问题

1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.

2.会用向量法探究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.

CONTENTS

知识诊断自测

考点聚焦突破

课时分层精练

壹

贰

目录

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ZHISHIZHENDUANZICE

知识诊断自测

第一章

图2

3.两条平行直线之间的距离

求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.()

(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.()

(3)直线l平行于平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等.()

(4)直线l上两点到平面α的距离相等，则l平行于平面α.()

×

×

√

解析(1)当平面α上三点在平面β的两侧时，α与β相交.

(2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线，该点与垂足之间的距离.

(4)直线l上的两个点在平面α的两侧时，l与平面α相交.

×

解析由题意，点F到平面ABC的距离为

4.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，

则平面AMN与平面EFBD间的距离为________.

解析以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4).

易知MN∥EF，MN⊂平面AMN，EF平面AMN，

∴EF∥平面AMN，

又BF∥AM，AM⊂平面AMN，BF平面AMN，

∴BF∥平面AMN，

∵EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面EFBD，

∴平面AMN∥平面EFBD.

KAODIANJUJIAOTUPO

考点聚焦突破

第二章

考点一利用向量法求距离

例1(1)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线BD的距离为()

A

解析如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，

A

解析以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系.

由ABC－A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，

D

解析如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

感悟提升

训练1(1)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，N是AD的中点，M是CC1的中点，则直线BM与B1N之间

的距离为________.

解析以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2，2，0)，M(0，2，1)，N(1，0，0)，B1(2，2，2)，

(2)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.

求：①点N到直线AB的距离；

②点C1到平面ABN的距离.

解建立如图所示的空间直角坐标系，

考点二探索性问题

例2(2024·青岛调研)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△AB1C为等边三角形，四边形AA1B1B为菱形，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3.

(1)求证：AB1⊥A1C；

证明连接A1B与AB1相交于点F，连接CF，如图①所示.

∵四边形AA1B1B为菱形，∴F为AB1的中点，A1B⊥AB1.

∵△AB1C为等边三角形，∴CF⊥AB1，

又A1B，CF⊂平面A1BC，A1B∩CF＝F，∴AB1⊥平面A1BC.

∵A1C⊂平面A1BC，∴AB1⊥A1C.

解假设存在，设O，G分别为AC，AB的中点，

连接B1O，OG，由(1)可知AB1⊥BC，

又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，

∴BC⊥平面AB1C.

又OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C.

∵△AB1C为等边三角形，∴B1O⊥AC，

故OG，OC，OB1两两垂直.

当λ＝0时，平面AB1E即平面AB1C，

∵B1O⊥平面ABC，B1O⊂平面AB1C，

∴平面AB1C⊥平面ABC，不满足题意.

感悟提升

1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.

2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.

所以AC2＋AB2＝BC2，所以AC⊥AB.

又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，

所以AC