函数的周期性与对称性讲义-高一上学期数学人教A版.docx

学员姓名：年级：高一

专题

函数的周期性与对称性

教学内容

【知识点与方法概要】

一、函数的轴对称：

①如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

推论：如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.

二、函数的点对称：

②如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

推论：如果函数满足，则函数的图象关于点对称.

三、函数周期性的性质：

如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

③若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

④若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.

四、两个函数的相互对称(参照函数的自对称填空)

所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。

关于函数图象的互对称,有下列性质:

1、互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；

2、函数与函数的图象关于直线对称

3、函数与函数的图象关于直线对称

4、函数与函数的图象关于点对称

【概念熟悉】(照顾小白)

例1若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为________

例2在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则()

A.在区间上是增函数，在区间上是减函数

B.在区间上是增函数，在区间上是减函数

C.在区间上是减函数，在区间上是增函数

D.在区间上是减函数，在区间上是增函数

例3定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（）

A.0 B.1 C.3 D.5

例4判断下列函数的周期（感觉你们不会做）

①已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数；

②已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数.

③已知函数对任意实数,都有,则是以为周期的函数；

④已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数

⑤已知函数对任意实数,都有,则是的一个周期.

【巩固练习】

1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）

的数值为_______

2．定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=_______

3．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为_______

4.已知函数f（x）既是奇函数又是周期函数，周期为3，且x∈[0，1]时，f（x）=x2﹣x+2，求f（﹣2014）的值．