2025年高二数学上册知识点综合测试题.doc

1.6微积分基本定理

【学习目的】

1.直观理解并掌握微积分基本定理的含义.2.会运用微积分基本定理求函数的积分．

【知识导学】

1．微积分基本定理

假如f(x)是区间[a，b]上的持续函数，并且，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝

2．定积分和曲边梯形面积的关系

设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下，则

(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图(1)，则?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝

(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图(2)，则?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝

(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图(3)，则?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝，若S上＝S下，则?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝

【预习检测】

1．定积分?eq\o\al(1,0)(2x＋ex)dx的值为()

A．e＋2B．e＋1C．eD．e

2．若?eq\o\al(a,1)(2x＋eq\f(1,x))dx＝3＋ln2，则a的值是()

A．5B．4C．3D

3．?eq\o\al(2,0)(x2－eq\f(2,3)x)dx＝________.

4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－2π，0≤x≤\f(π,2)，,cosx，\f(π,2)x≤π))，计算?eq\o\al(π,0)f(x)dx.

探究点一微积分基本定理

思考1对一种持续函数f(x)来说，与否存在唯一的F(x)，使F′(x)＝f(x)？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？

例1计算下列定积分：

(1)?eq\o\al(2,1)eq\f(1,x)dx；(2)?eq\o\al(3,1)(2x－eq\f(1,x2))dx；(3)?eq\o\al(0,－π)(cosx－ex)dx.

探究点二分段函数的定积分

例2已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，0≤x≤\f(π,2)，,1，\f(π,2)≤x≤2，,x－1，2≤x≤4.))先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．

探究点三定积分的应用

例3计算下列定积分：

?eq\o\al(π,0)sinxdx，?eq\o\al(2π,π)sinxdx，?eq\o\al(2π,0)sinxdx.由计算成果你能发现什么结论？试运用曲边梯形的面积表达所发现的结论．

定积分的值也许取正值也也许取负值，还也许是0：

定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．

【当堂检测】

1计算下列定积分：

(1)eq\i\in(1,2,)(x－1)5dx；(2)eq\i\in(0,eq\f(π,2),)(sin3xcosx)dx；(3)eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x(x＋1))dx.

2设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,cosx－1，x0，))求?eq\o\al(1,－1)f(x)dx.

3求曲线y＝sinx与直线x＝－eq\f(π,2)，x＝eq\f(5,4)π，y＝0所围图形的面积(如图所示)．

[呈重点、现规律]

1．求定积分的某些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分．

(2)若被积函数是分段函数，根据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于具有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．

2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几种区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数．

沁园春·雪毛泽东

北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；

大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，

欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；

唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，

只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

薄雾浓云愁永昼，?瑞脑消金兽。佳节又重阳，玉枕纱厨，午夜凉初透。

东篱把酒傍晚后，有暗香盈袖。莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。