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动态规划原理与应用

什么是动态规划动态规划（DynamicProgramming，DP）是一种通过将原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的算法思想。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它的基本思想是将问题分解为若干个子问题，先求解子问题，并将这些子问题的解存储起来，以便在求解大问题时直接使用，避免重复计算。核心思想将复杂问题分解为子问题求解。适用场景

动态规划的基本概念动态规划算法中的几个基本概念需要理解：阶段指的是问题求解过程中所处的各个环节；状态是对问题在某一阶段的描述，状态的选择直接影响算法的复杂度和正确性；决策是指在每个阶段可以采取的选择；状态转移方程是描述状态之间如何演变的公式，是动态规划的核心。1阶段问题求解过程中的各个环节。2状态对问题在某一阶段的描述。3决策每个阶段可以采取的选择。状态转移方程

动态规划的核心思想动态规划的核心思想是优化，通过找到问题的最优子结构，并利用子问题的解来构造原问题的解。动态规划的过程实际上就是一个决策的过程，每次决策都会影响到后续的状态。因此，选择正确的决策，使得整体达到最优，是动态规划的关键。动态规划通过记忆化，存储中间结果，避免重复计算，大大提高了算法的效率。寻找最优子结构将原问题分解为若干个子问题。构造原问题解利用子问题的解来构造原问题的解。记忆化存储中间结果，避免重复计算。

最优子结构一个问题具有最优子结构性质是指，原问题的最优解包含其子问题的最优解。这意味着我们可以通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。最优子结构是动态规划算法能够有效解决问题的关键特性之一。在实际应用中，需要仔细分析问题是否具备这一性质。定义原问题的最优解包含子问题的最优解。作用可以通过子问题的最优解构建原问题的最优解。关键动态规划算法有效解决问题的关键特性。

重叠子问题重叠子问题是指在递归求解问题时，反复计算相同的子问题。动态规划通过将子问题的解存储下来，当再次遇到相同的子问题时，直接使用已存储的解，避免重复计算，从而提高效率。这是动态规划算法区别于简单递归算法的一个重要特征。例如，计算斐波那契数列时，`fib(5)=fib(4)+fib(3)`，`fib(4)=fib(3)+fib(2)`，`fib(3)`就被重复计算了。定义递归求解时，反复计算相同的子问题。作用存储子问题的解，避免重复计算。优势提高算法效率的关键。

状态转移方程状态转移方程是描述动态规划中状态之间如何转移的公式。它定义了如何从一个或多个先前的状态计算出当前状态的值。状态转移方程是动态规划算法的核心，正确的状态转移方程能够保证我们得到问题的最优解。例如，斐波那契数列的状态转移方程是`f(n)=f(n-1)+f(n-2)`。1定义描述状态之间如何转移的公式。2作用从先前状态计算当前状态的值。3核心动态规划算法的核心。

动态规划的解题步骤解决动态规划问题通常包括以下步骤：定义状态，确定状态的含义和维度；确定状态转移方程，描述状态之间的关系；初始化边界条件，确定初始状态的值；递推求解，根据状态转移方程，从小到大（或从大到小）计算状态的值；返回结果，根据状态的定义，返回最终结果。定义状态确定状态的含义和维度。确定状态转移方程描述状态之间的关系。初始化边界条件确定初始状态的值。递推求解计算状态的值。返回结果返回最终结果。

初识动态规划算法动态规划算法通过将问题分解为子问题，并存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。动态规划算法通常用于解决具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。通过学习动态规划算法，可以提高解决问题的能力，优化算法效率。掌握动态规划算法是程序员必备的技能之一。分解问题1存储子问题解2避免重复计算3提高效率4

经典动态规划问题：斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的动态规划问题。数列的定义是：`F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)`（n=2）。通过斐波那契数列问题，可以更好地理解动态规划的思想和应用。斐波那契数列在计算机科学和数学领域都有广泛的应用。1F(n)2F(n-1)3F(n-2)

斐波那契数列的递归解法使用递归方法求解斐波那契数列，代码简洁易懂。然而，递归解法存在大量的重复计算，导致效率低下。当n较大时，递归解法的时间复杂度会呈指数级增长，使得计算变得非常耗时。因此，递归解法通常不适用于大规模的斐波那契数列计算。deffibonacci_recursive(n):

ifn=1:

returnn

else:

returnfibonacci_recursive(n-1)+fibonacci_recursive(n-2)

斐波那契数列的动态规划解法动态规划解法通过将计算过的斐波那