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动态规划在区间问题中的应用

什么是动态规划动态规划是一种通过将复杂问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而高效解决问题的算法思想。它适用于具有最优子结构和重叠子问题性质的问题。在动态规划中，我们通常从最小的子问题开始求解，逐步推导出更大规模问题的解，最终得到原问题的最优解。

动态规划的基本概念和特征1最优子结构问题的最优解包含其子问题的最优解。这意味着我们可以通过求解子问题的最优解来构建原问题的最优解。2重叠子问题在求解问题的过程中，会多次遇到相同的子问题。动态规划通过存储子问题的解来避免重复计算，提高效率。3状态定义将问题分解为若干阶段，每个阶段的状态表示问题的中间结果。状态定义需要简洁明了，能够完整描述问题的特征。状态转移方程

区间问题的定义和常见类型区间问题的定义区间问题是指在给定的序列或数组上，对某个连续的子序列（区间）进行操作或求解的问题。这类问题通常要求找到满足特定条件的区间，或者求解与区间相关的最优值。常见类型最长回文子序列石子合并区间最大值/最小值区间求和区间覆盖

区间动态规划的核心思想分解区间将大区间分解为若干小区间，求解小区间的解。状态表示定义状态dp[i][j]表示区间[i,j]的最优解。状态转移通过小区间的解推导出大区间的解，构建状态转移方程。求解目标最终得到dp[0][n-1]，即整个区间的最优解。

区间DP的基本解题步骤11.定义状态确定dp[i][j]的含义，通常表示区间[i,j]的某种属性值。22.推导状态转移方程考虑如何从小区间的状态推导出大区间的状态，找到状态之间的递推关系。33.确定边界条件处理i==j或ij等边界情况，初始化dp数组。44.求解顺序从小区间到大区间，通常按区间长度递增的顺序求解。

经典区间问题：最长回文子序列最长回文子序列（LongestPalindromicSubsequence，LPS）是指在一个给定的序列中，找到一个最长的子序列，使得这个子序列是回文的。回文是指正读反读都相同的序列。例如，序列ABCDEDCB的最长回文子序列是BCDEDCB。最长回文子序列问题是一个经典的动态规划问题，它可以用来解决很多实际问题，例如文本编辑、生物信息学等。通过学习最长回文子序列问题的解法，我们可以掌握区间动态规划的核心思想，并将其应用到其他区间问题中。

最长回文子序列问题分析问题描述给定一个字符串s，找到s的最长回文子序列的长度。示例输入：s=bbbab

输出：4

解释：最长回文子序列是bbbb。

状态定义与转移方程状态定义dp[i][j]表示字符串s的区间[i,j]内的最长回文子序列的长度。状态转移方程如果s[i]==s[j]，则dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2；否则，dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])。

代码实现思路初始化当i==j时，dp[i][j]=1。遍历顺序按区间长度递增的顺序遍历，先计算小区间，再计算大区间。返回结果最终返回dp[0][n-1]，即整个字符串的最长回文子序列长度。

时间复杂度分析最长回文子序列问题使用动态规划解决时，需要填充一个二维dp数组，数组的大小为nxn，其中n是字符串的长度。填充数组的每个元素需要常数时间O(1)。因此，总的时间复杂度为O(n^2)。时间复杂度分析是评估算法效率的重要步骤。通过分析时间复杂度，我们可以了解算法在处理不同规模数据时的运行时间，从而选择合适的算法来解决问题。对于区间动态规划问题，时间复杂度通常与状态的数量和状态转移的复杂度有关。

空间复杂度优化1原始空间复杂度使用二维dp数组，空间复杂度为O(n^2)。2优化方法由于状态转移只依赖于相邻的状态，可以使用滚动数组将空间复杂度优化到O(n)。3优化后空间复杂度空间复杂度降为O(n)。

区间合并问题介绍区间合并问题是一类经典的区间问题，它要求将若干个有重叠的区间合并成互不相交的区间。区间合并问题在实际应用中非常常见，例如日程安排、资源调度等。通过学习区间合并问题的解法，我们可以掌握处理区间关系的重要技巧，并将其应用到其他相关问题中。解决区间合并问题的关键在于对区间进行排序，并逐个判断区间之间是否存在重叠。如果存在重叠，则将它们合并成一个更大的区间；否则，将它们作为独立的区间保留。通过这种方式，我们可以将所有有重叠的区间合并成互不相交的区间。

石子合并问题模型问题描述1目标2约束3求解4有n堆石子排成一排，每堆石子的数量已知。每次可以将相邻的两堆石子合并成一堆，合并的代价为这两堆石子的数量之和。求将所有石子合并成一堆的最小代价。

石子合并的状态设计1目标