补上一课　几何体的截面(交线)及动态问题.pptxVIP

第七章立体几何与空间向量

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补上一课几何体的截面(交线)及动态问题

1.立体几何中截面、交线问题综合性较强，解决此类问题要应用三个基本事实及其推论、垂直、平行的判定与性质定理等知识.

2.立体几何中的动态问题主要是指空间动点轨迹的判断、求轨迹长度、最值与范围问题等.

题型一截面问题

例1(2024·宁波质检)已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB，点E是PD的中点，点F是棱PC上的点且PF＝2FC，则平面BEF截四棱锥P－ABCD所得的截面图形是()

A.斜三角形 B.梯形

C.平行四边形 D.两组对边均不平行的四边形

D

解析如图，延长EF和DC，

设其交点为G，连接BG，

延长DA并与直线BG交于点H，

连接HE交PA于点K，

连接KB，得四边形EFBK，

假设KE∥BF，易证BF∥平面PAD，

易知BC∥平面PAD，

易得平面PBC∥平面PAD，

与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾，

故假设不成立，因此KE与BF不平行，

同理可证KB与EF不平行，

因此四边形EFBK的两组对边均不平行，故选D.

感悟提升

作截面应遵循的三个原则：(1)在同一平面上的两点可引直线；(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点；(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.

训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，

则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.

解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，

过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，

连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，

由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，

题型二交线问题

解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，

连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，

由∠BAD＝60°，AB＝AD，

知△ABD为等边三角形，

∴D1B1＝DB＝2，

∴△D1B1C1为等边三角形，

∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，

设截面圆的半径为r，

感悟提升

作交线的方法有如下两种：(1)利用基本事实3作交线；(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.

解析设球O的半径为r，则AB＝BC＝2r，

又O2为AB的中点，所以O2P⊥AB.

又O1O2∩O2P＝O2，O1O2，O2P⊂平面O1O2P，

所以AB⊥平面O1O2P，

又OH⊂平面O1O2P，所以AB⊥OH.

因为OH⊥O2P，且AB∩O2P＝O2，AB，O2P⊂平面ABP，所以OH⊥平面ABP.

题型三动态问题

BC

解析对于A，如图1，连接DE，DF，DP，则DE＝DF，

图1

因为点P是EF上的动点，

所以当点P为EF的中点时，DP最小，

此时DP⊥EF，连接CP，

因为DC⊥平面BCC1B1，CP⊂平面BCC1B1，所以CP⊥DC，

又正方体的棱长为2，所以CD＝2，

对于B，连接A1D，PA1，PA，PD，则VD－A1AP＝VP－A1AD，

点P到平面A1AD的距离，即平面BCC1B1到平面A1AD的距离，

易知该距离等于正方体的棱长，为2，

对于C，如图2，连接AE，D1F，AD1，则AD1∥EF，且AD1＝2EF，平面AEF与正方体的底面ABCD的交线为AE，与平面BCC1B1的交线为EF，

因为EF∥平面ADD1A1，所以由线面平行的性质定理得，平面AEF与平面ADD1A1的交线与EF平行，且过点A，

所以平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1，

则平面AEF截正方体的截面为四边形AEFD1，

因为AD1∥EF，AD1＝2EF，且AE＝D1F，

所以四边形AEFD1为等腰梯形，所以选项C正确.

图2

对于D，如图3，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A－xyz，

图3

连接DE，DP，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，E(2，1，0)，F(2，2，1)，D(0，2，0)，

(2)(2023·宁波调研)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为平面ACC1A1上一动点，且满足D1P⊥CP，

则满足条件的所有点P围成的平面区域的面积为________.

感悟提升

1.在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值.

2.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1