第14讲：拓展七：极值点偏移问题（解析版）.docx

第14讲：拓展七：极值点偏移问题

目录

TOC\o1-1\h\u类型一：不含参数的极值点偏移问题 1

类型二：含参数的极值点偏移问题 9

类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 18

类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 24

高频考点类型

类型一：不含参数的极值点偏移问题

典型例题

1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数

(1)求函数单调区间；

(2)设函数，若是函数的两个零点，

①求的取值范围；

②求证：．

【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）求导后，根据正负即可得到的单调区间；

（2）①将问题转化为与在上有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果；

②由①可得，设，利用导数可求得，进而得到，即，根据的范围和单调性可得结论.

【详解】（1）定义域为，，

当时，；当时，；

的单调递增区间为；单调递减区间为.

（2）①若是的两个不同零点，则与在上有两个不同交点；

由（1）知：，又，

在的图象如下图所示，

由图象可知：，，即的取值范围为.

②不妨设，由①知：，

，，

在上单调递增，在上单调递减；

设，则，

在上单调递减，，，

又，，又，；

，，在上单调递增，

，则.

【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下：

①求导确定的单调性，得到的范围；

②构造函数，求导后可得恒正或恒负；

③得到与的大小关系后，将置换为；

④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.

2．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知函数.

(1)证明：.

(2)若函数，若存在使，证明：.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）构造，求导后判断函数最大值，得到，即得证；

（2）根据题意判断，，将原题转化为证明，构造函数后求导证明即可.

【详解】（1）令，，，

令，解得：；令，解得：，

∴在递增，在递减，则，

∴恒成立，即.

（2）∵，，∴，

令，解得：；令，解得：；

∴在递增，在递减.

又∵，，，，且，.

要证，即证.

∵，∴，

又∵，∴只证即可.

令，，

恒成立，

∴在单调递增.

又∵，∴，∴，

即，∴.

【点睛】极值点偏移的题目常用的手法就是对称构造，本题可先判断，，再转化为证明，根据的单调性可以将其转化为证明，构造函数后利用导数证明不等式即可.

3．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数

(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；

(2)设是两个不相等的实数，且．求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先判断不成立，当时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；

（2）设，可得恒成立，从而可证不等式.

【详解】（1）当时，，

因为，所以，即，不符合题意；??????????

当时，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．??????????

所以．??????????

由恒成立可知，所以．??????????

又因为，所以的取值范围为．

（2）因为，所以，即．

令，由题意可知，存在不相等的两个实数，，使得．??????????

由（1）可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．

不妨设，则．

设，??????????

则，

所以在上单调递增，??????????

所以，即在区间上恒成立．

因为，所以．??????????

因为，所以．??????????

又因为，，且在区间上单调递增，

所以，即．

【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.

练透核心考点

1．（23-24·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设是的两个零点，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）等价于有两个零点，设，求出函数的最小值利用零点存在性定理分析即得解；

（2）不妨设，等价于证明，再利用极值点偏移的方法证明.

【详解】（1）解：由，得，

设，则，，

因为，所以当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增．

又因为，所以，

，

，

所以a的取值范围是．

（2）证明：不妨设，

由（1）知，则，，，

又在上单调递增，

所以等价于，即．

设，

则．

设，则，

设，则，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，又因为，，，

所以存在，使得，当时，，即，

当时，，即，

所以在上单调递减，在上单调递增．

又因为，，

所以当时，，当时，，

所以当时，，单调递减，

因为，所以，

所以，即原命题得证．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是掌握极值点偏移的解题方法，对于这些典型题型，学生要理解并灵活掌握.

2．（23-24高三上·