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2023-2024学年高一数学上学期期末模拟考试

参考答案

一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

A

A

B

A

D

A

C

B

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11．12． 13． 14．（答案不唯一）15.51

四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（14分）

【解析】（1）证明：由题意可得，当时，则，可得，............2分

当时，，所以，即，............4分

因为，............6分

所以可证得为等比数列；............7分

（2）由（1）可得为等比数列，

且首项，公比，

所以，可得，............10分

将代入中，............11分

所以，

解得．............14分

17．（14分）

【解析】（1）数列的前项和为，满足，，

，而，............2分

，即，............4分

当时，，显然也满足上式，............5分

．............6分

（2）由（1）知，，，

，............10分

．............14分

（15分）

【解析】（1）证明：设，交于，

四棱锥的底面是矩形，，，

为的中点，则，............2分

故，则，

而，则，...........3分

故，故，又，

且，，平面，

故平面，平面，...........5分

故，又，

，，平面，

所以底面；...........7分

（2）解：以点为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，

则，，，，0，，...........8分

则，，...........9分

设平面的一个法向量为，，，

则，令，可得，...........10分

设平面的一个法向量为，，，

则，令，可得，1，，...........11分

则，...........13分

由于二面角的取值范围为，，

故其正弦值为．...........15分

19．（13分）

【解析】（Ⅰ）定义域为，，...........2分

或，，...........4分

故的单调递减区间为，单调递增区间为，；...........5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在，上单调递减，在，上单调递增，

故（3），由（4），故．...........13分

（15分）

【解析】（1）因为离心率等于且椭圆经过点，

所以，...........3分

解得，，

则椭圆的方程为；...........4分

（2）不妨设，，，，

联立，消去并整理得，...........6分

此时△，

即，...........8分

由韦达定理得，①