《浅析有理函数不定积分的方法及其推广应用》6400字.doc

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浅析有理函数不定积分的方法及其推广应用

目录

TOC\o1-2\h\u166791绪论 1

71201.1研究的背景及意义 1

56911.2国内外研究现状 2

41471.3常用符号 3

34062不定积分 4

84242.1原函数与不定积分的定义 4

85882.2不定积分的积分方法 5

6324例2求 7

14583有理函数不定积分 8

200423.1有理函数的一般形式及分类 8

289273.2真假有理函数的转化 8

209533.3有理函数不定积分的形式为 11

227993.4有理函数不定积分的积分方法 12

100614有理函数不定积分的推广及应用 15

26643总结 18

1绪论

1.1研究的背景及意义

1.1.1背景

数学来源于人类的生产活动中，成为了生产活动中不可或缺的一部分，从根本上说来源于实际的生活，这说明数学如果脱离了人类的生产活动就可能会变为一片死海，毫无波澜。但数学也像一棵巨大的树，树枝粗壮，枝丫众多，枝叶繁茂，是不断生长，形成了一个庞大的网络。自从17世纪以来，微积分的问世之后，人们用来研究物体的速度的问题，天体运动问题以及许多力学的问题，在学术界上引起了不少数学家的注意，从而掀起了一场轰轰烈烈的革命。数学是每一个科学的基础，而微积分的作为数学的核心，所以对微积分学这一学科的研究，也是十分重要的。

广义来说微分学与积分学构成了微积分学，其中微分学包括极限理论、导数、微分等；积分学包括定积分、不定积分等。发展学生的智力是发展教育的必要性，而微积分学中内含的数学思想方法更是发展学生智力的关键，有理函数不定积分更是作为微积分学中的重要一环，由此可见我们研究有理函数不定积分具有十分重要的作用[1]。

1.1.2意义

在微积分学与数学分析的教学过程中，有理函数的不定积分单独作为一个内容，是十分重要的，更是不定积分教学过程的一大教学难点与重点，对之后学习掌握定积分也有一定的重要性。在求有理函数不定积分较为常用的方法是通过对有理函数分解成各个因式，再利用积分公式对每一个因式求不定积分，把它们相加或相减，最后在加上常数。有理函数的不定积分总是能“积出来”，有理函数的不定积分总是通过用初等函数：对数函数、有理函数和反正切函数表示出来。不定积分是：被积函数在区间的全体原函数称为函数的不定积分。若被积函数为有理函数时，该不定积分为有理函数不定积分[2]。

1.2国内外研究现状

17世纪，以牛顿、莱布尼茨为代表为微积分学的伊始起到了开创性工作，经过两人不懈努力，牛顿—莱布尼茨公式问世，被众人所知，该公式正是反映了求积分与求导数的这种互逆关系，使得形成了一门新的学科——微积分学，该学科将原本独立发展、互不相干的积分学和微分学结合起来。第二次数学危机的导火索是因为早期微积分学理论不够完整，针对在求导过程中的无穷小问题，英国主教贝克莱在18世纪出版的书中提出了质疑，质疑牛顿理论中针对无穷小量问题，认为牛顿理论中表述无穷小量一会儿认为是0，一会儿认为又不是0的说法不对，还形象的称无穷小量为：已死量的幽灵，对微积分学发起了进攻。又直到19世纪20年代，微积分是否严格的问题又引起一些数学家的关注，随之经过数学家的不懈努力，以阿贝尔、狄利克雷、柯西、魏尔斯特拉斯等杰出科学家完成了微积分的奠基性工作。20世纪初期勒贝格提出了新的积分理论，此理论是现代分析从古典分析过渡而来的一个转折点。

在中国，古代有庄子在《天下篇》中的记载如果每天取木棰的一半，一万年也都取不完；三国后期的数学家刘徽的“割圆术”，用正多边形逼近圆周等一些该方向的理论已经有比较接近微分学大门的条件了，但由于某些原因微分学在我国未能得到很好发展，但这并不影响我国数学家对微积分学发展的继续探究。在现代，有华裔数学大师陈省身利用微积分的理论对几何领域的问题进行研究，进一步了促进国内数学界的发展，并发现了积乘和微商。1992年王泽汉在《哈尔滨工业大学学报》上提出了新的极限理论，该理论是可以在复活无限小的基础上提出的，该观点对微积分学的改革提供了途径[3]。2011年丁小平在《数学学习与研习》发表新微积分原理的思考，该文提出了一种新的模型：新量—形模型，该模型是关于修正点和实数的规定性，是以“变化”为核心的一个微积分体系，在这一系列的基础上对的原理进行了重新构造[4]。2015年张春晖在《鄂州大学学报》发表高等数学微积分教学的策略探讨[5]。他们从不同的方面对微积分做出了研究，使微积分更加全面的展示出来。

1981年沈燮昌在《中国科学》发表了有关有理函数展开的余项估计问题。1997年刘琳琳在《河南教育学院报(自然科学版