微专题计数原理与概率讲义-高三数学二轮复习.docx

微专题计数原理与概率

课前学习任务

高考定位

1．主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主．

2．二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查．

3．概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用．

核心归纳

1．解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排．

(2)合理分类与准确分步．

(3)排列、组合混合问题要先选后排．

(4)相邻问题捆绑处理．

(5)不相邻问题插空处理．

(6)定序问题倍缩法处理．

(7)分排问题直排处理．

(8)“小集团”排列问题先整体后局部．

(9)构造模型．

(10)正难则反，等价转化．

2．二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Cnkan－kbk(k＝0，1，2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Cnk是二项式展开式的第

3．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项Cnn2取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C

(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.

4．古典概型的概率公式

P(A)＝事件A

5．条件概率公式

设A，B为两个随机事件，且P(A)0，则

P(B|A)＝PAB

6．全概率公式

设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝

课堂学习任务

真题再现

1．(2023·全国甲卷)现有5名志愿者参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()

A．120种 B.60种

C．30种 D.20种

2．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A．14 B．

C．12 D．

3．(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________．

4．(2024·全国甲卷)13+x

考点突破

考点一排列与组合问题

例1(1)(2024·浙江金华三模)在义乌，婺剧深受民众喜爱．某次婺剧表演结束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相邻且老旦不排在最右边的不同排法总数是()

A．36 B.48

C．60 D.72

(2)班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有()

A．60种 B.54种

C．48种 D.36种

训练1某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天．若5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有()

A．42种 B.40种

C．36种 D.30种

训练2(2024·山西晋中三模)如图，16颗黑色围棋子构成4×4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为(两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形)()

A．576 B.528

C．520 D.516

考点二二项式定理

例2(1)2xy?1(x＋y)7的展开式中x5y

A．－91 B．－21

C．14 D．49

(2)(多选)已知(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则下列说法正确的是()

A．a0＝1

B．a3＝－80

C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1

D．a0＋a2＋a4＝121

训练3在(3x＋y－1)8的展开式中，x2y的系数是()

A．168 B.－168

C．1512 D.－1512

训练4(多选)(2024·山西临汾三模)在2x?

A．所有奇数项的二项式系数的和为128

B．二项式系数最大的项为第5项

C．有理项共有两项

D．所有项的系数的和为38

考点三概率

例3(1)(2024·安徽马鞍山三模)甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为()

A．320 B．

C．625 D．

(2)(多选)(2024·福建三明三模)假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．下列选项正确的