第14讲：拓展七：极值点偏移问题（原卷版）.docx

第14讲：拓展七：极值点偏移问题

目录

TOC\o1-1\h\u类型一：不含参数的极值点偏移问题 1

类型二：含参数的极值点偏移问题 3

类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题 5

类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题 6

高频考点类型

类型一：不含参数的极值点偏移问题

典型例题

1．（23-24高三上·北京房山·期中）已知函数

(1)求函数单调区间；

(2)设函数，若是函数的两个零点，

①求的取值范围；

②求证：．

2．（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知函数.

(1)证明：.

(2)若函数，若存在使，证明：.

3．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知函数

(1)若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围；

(2)设是两个不相等的实数，且．求证：

练透核心考点

1．（23-24·河南平顶山·模拟预测）已知函数有两个零点．

(1)求a的取值范围；

(2)设是的两个零点，证明：．

2．（23-24高三上·广东清远·期末）已知函数．

(1)讨论的零点个数．

(2)若有两个不同的零点，证明：．

3．（23-24高三·全国·专题练习）已知函数，其中为常数，且．

(1)当时，若在，上的最大值为1，求实数的值；

(2)若，且函数有两个不相等的零点，，证明：．

类型二：含参数的极值点偏移问题

典型例题

1．（23-24高二下·四川南充·期末）设函数．

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：．

2．（2023·辽宁丹东·模拟预测）已知函数．

(1)若，证明：；

(2)若有两个不同的零点，求a的取值范围，并证明：．

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若有两个零点，，且，求证：．

练透核心考点

1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知函数，．（为自然对数的底数）

(1)当时，求函数的极大值；

(2)已知，，且满足，求证：．

2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数（）．

(1)试讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，（），求证：．

3．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若有两个零点，证明：.

类型三：与对数均值不等式有关的极值点偏移问题

典型例题

1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数.

(1)当时，试比较与的大小；

(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.

2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知，函数.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若有零点，求实数的取值范围；

(3)若有两个相异零点，求证：.

练透核心考点

1．（2023·安徽六安·模拟预测）已知函数为函数的导函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)已知函数，存在，证明：．

2．（2023·河南·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若函数有两个零点，证明：.

类型四：与指数均值不等式有关的极值点偏移问题

典型例题

1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)若，，且满足，求证：.

练透核心考点

1．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知，是函数在区间上的极值点.

(1)若函数的图象过点，求；

(2)求证：在区间上存在两个零点，且.