第15讲：拓展八：定义题（解答题）（原卷版）.docx

第15讲：拓展八：定义题（解答题10大题）

1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）设函数在区间上可导，为函数的导函数．若是上的减函数，则称为上的“上凸函数”；反之，若为上的“上凸函数”，则是上的减函数．

(1)判断函数在上是否为“上凸函数”，并说明理由；

(2)若函数是其定义域上的“上凸函数”，求的取值范围；

(3)已知函数是定义在上的“上凸函数”，为曲线上的任意一点，求证：除点外，曲线上的每一个点都在点处切线的下方．

2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）阅读知识卡片，结合所学知识完成以下问题：知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.

(1)用定积分表示曲线及所围成的图形的面积，并确定取何值时，使所围图形的面积最小；

(2)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求：

①求火车在刹车4秒时速度的瞬时变化率（即4秒时的瞬时加速度）；

②紧急刹车后至停止火车运行的路程.

3．（23-24高二下·河南洛阳·阶段练习）定义：若函数和的图象上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．

(1)判断函数和是否具有关系；

(2)若函数和（）在区间上具有关系，求实数的取值范围．

4．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数图象的对称中心.

(1)若函数，求函数图象的对称中心；

(2)已知函数，其中.

（ⅰ）求的拐点；

（ⅱ）若，求证：.

5．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图像只有唯一的公共点，则称为“函数”，切线为一条“切线”．

(1)判断是否是函数的一条“切线”，并说明理由；

(2)设，求证：存在无穷多条“切线”；

(3)设，求证：对任意实数和正数都是“函数”

6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为，幂指函数在求导时可以将函数“指数化再求导.例如，对于幂指函数，.

(1)已知，求曲线在处的切线方程；

(2)若且，.研究的单调性；

(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.

7．（2024·广东茂名·一模）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”.

(1)若，判断是否为上的“3类函数”；

(2)若为上的“2类函数”，求实数的取值范围；

(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，.

8．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数、，的图象在处的切线与轴平行．

(1)求，的关系式并求的单调减区间；

(2)证明：对任意实数，关于的方程：在,恒有实数解；

(3)结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数是在闭区间,上连续不断的函数，且在区间内导数都存在，则在内至少存在一点，使得．如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件．试用拉格朗日中值定理证明：

当时，（可不用证明函数的连续性和可导性）．

9．（23-24高一上·云南昆明·期末）设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：

(1)分别求在区间、上的平均变化率；

(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

10．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数．

(1)若，求的单调区间；

(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．

(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．

①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；

②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．