数学（全解全析）.docx

2023-2024学年高二数学上学期期末模拟考试

全解全析

一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．已知为等差数列，，则

A．4 B．6 C．8 D．10

【解析】为等差数列，，

．

故选：．

2．曲线的倾斜角为的切线的切点坐标为

A．， B．， C．， D．，

【解析】，，

设，，则，

又曲线上的点处的切线的倾斜角为，

，．

．

点的坐标为，．

故选：．

3．已知点，到直线的距离为1，则实数

A． B． C． D．

【解析】由题意得，

因为，

解得或（舍．

故选：．

4．《周伸算经》中有这么一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为

A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺

【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，

由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为，小寒、雨水、清明日影长之和为，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为，

所以．

故选：．

5．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点．已知，，，则

A． B． C． D．

【解析】底面是平行四边形，点是的中点，，，，

，

故选：．

6．已知数列满足，，若，则

A．10 B．15 C．20 D．25

【解析】依题意，由，

令，则，

即，

，

数列是首项和公差均为2的等差数列，

，，

，

解得．

故选：．

7．设为坐标原点，，是抛物线与圆关于轴对称的两个交点，若，则

A．4 B．2 C． D．

【解析】不妨设点在第一象限，则为等边三角形，故．

代入中，解得，则，

将代入抛物线方程可得：，解得．

故选：．

8．已知函数有两个极值点，，则

A．或 B．是的极小值点

C． D．

【解析】若函数有两个极值点，，

则有2个不同零点，

则△，解得或，故正确，

由于，则函数的图像开口向上，

则是的极大值点，故错误，

由，，则错误，

故选：．

9．若过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交轴于点，为双曲线的半焦距），则此双曲线的离心率是

A． B． C． D．

【解析】如图，

不妨设双曲线的一个焦点为，渐近线为，

则过点且与直线垂直的直线方程为，

令，得，则，，

双曲线的离心率是．

故选：．

10．斐波那契数列在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推公式给出的：，当时，若，则

A．98 B．99 C．100 D．101

【解析】由已知得，且，

所以，

，

．

，

累加整理可得；

又因为．

即是该数列的第100项，所以，所以选项正确．

故选：．

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11．（2022秋?朝阳区期末）已知平面的法向量为，2，，直线的方向向量为，，，且，则实数．

【解析】根据题意，若，则，

必有，解可得，

故答案为：．

12．（2022秋?朝阳区期末）过圆的圆心且与直线平行的直线的方程是．

【解析】因为圆的圆心为，

故过圆心且与直线平行的直线为，即．

故答案为：．

13．（2023秋?东丽区期中）椭圆的焦点为，，短轴端点为，若，则．

【解析】椭圆的焦点为，，短轴端点为，

则，为原点），

又，，，

则，

即．

故答案为：．

14．（2022秋?朝阳区期末）已知是首项为负数，公比为的等比数列，若对任意的正整数，恒成立，则的值可以是（只需写出一个）

【解析】依题意，，

又，

则，即，

所以的值可以是．

故答案为：（答案不唯一）．

15．（2023?张家口一模）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，（2），则．

【解析】因为，令，得（1），所以（1）．

由为奇函数，得，

所以，故①．

令，得（1）（3）．

因为②，（2），

令，得（2），所以．

由①和②得，即，

所以③，

故④．

由③④得，即，

所以函数是以4为周期的周期函数，

故（4），所以（1）（2）（3）（4）．

又，

所以（1）（2）．

四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（14分）

为数列的前项积，且．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）求的通项公式．

【解析】（1）证明：由题意可得，当时，则，可得，

当时，，所以，即，

因为，

所以可证得为等比数列；

（2）由（1）可得为等比数列，

且首项，公比，

所以，可得，

将代入中，

所以，

解得．

17．（14分）

已知数列的前项和为，满足，”．

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前20项和．

【解析】（1）数列的前项和为，满足，，

，而